理不清的数理关系
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鹏飞告诉皓天，π不仅是个无理数，也是个超越数，德国数学家林德曼证明π不是有理系数多项式方程的根。可是皓天想知道怎么证明π和 是超越数。
鹏飞说：“林德曼的证明太复杂了，需要很高深的数学知识，这我们就不要深究了，总之他证明了π是个超越数，不可用尺规作出来的。至于证明 是超越数，倒是不难。”
皓天：“说来听听！”
鹏飞在一片小纸头上飞快地证明了起来，设：
P(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = 0
上式是有理系数多项式方程，且 是它的根，即：
( )n + a1( )n-1 + a2( )n-2 + … + an-1 + an = 0
于是当n是偶数时（n为奇数时，可以相似地推理），
( )n + a2( )n-2 + a4( )n-4 + … + an-2( )2 + an = -[a1( )n-1 + a3( )n-3 + … + an-1 ]
上式左边的根号可以拿掉，若将上式两边平方，则右边的根号也消失了，于是可得：
Q1( π) = Q2(π)
其中Q1和Q2是有理系数多项式，即π是有理系数多项式Q1(y) - Q2(y) = 0的根。而林德曼已经证明了π是超越数，这与之矛盾，所以 不会是有理系数多项式的根，即 也是超越数。
皓天长舒了一口气：“也就是说，尺规作图化圆为方也是不可解的。三大尺规作图问题终于解决了！从古希腊至19世纪历经两千多年，这真是一场人类文明的智力大接力啊！”
鹏飞：“我们也该出去散散步，歇一下了。”
他们疲惫但又兴奋地来到院内的林荫小道上，边走边聊。
鹏飞突然想起：“记得你也曾提出过一个几何作图问题，哈哈，可以称作第四作图难题吧……”
“是啊，化球体为立方体尺规作图是否可能？让我算算，令球半径为1，则立方体半径为 ，这显然不是尺规数，证明过程就由你来吧。结论是化球体为立方体不可能！”
“哈哈！ 都无法作出，更何况 了！”
皓天：“毕达哥拉斯说‘万物皆数’，可他没想到数竟然这么复杂，他只知道有理数，不承认他弟子发现的无理数，殊不知后世的人们又发现了超越数、复数等。”
鹏飞：“其实，这些数的发现才更完善了数，也更体现了毕达哥拉斯‘万物皆数’的理念。”
皓天：“你说，数是天地间本来就有的呢，还是人类的创造发明？从三大作图难题的提出到解决的过程来看，人们扩充了数的概念，发现了不同的数域，好像说明数是人类智力的结果。”
“哈哈！你说这句话的时候用了‘发现’这个词，说明你心里还是认为数就在那里，是人类的智慧找到了它。数与天地同在！”
“也就是说，数学与物理是分不开的，就像时间与空间无法分开一样。数学与时间都是比较抽象的，而物理与空间较形象一些，但抽象无法脱离形象，形象也只能以抽象来组织和有序化。”
“这是你的一家之言，我不敢苟同，不过你这话倒恰好是老子那句至理名言——“形而上者谓之道，形而下者谓之器”的现代解释。我的理解是，形而下的器是客观实在，是物；形而上的道是物之理，要研究物之理，必须要用数学。而物理既要研究物，更要研究理，所以数学、物理学难以分离。数学是物理的拐杖，没有数学，物理学寸步难行；物理学是数学的基石，没有物理学，数学也无以附着。历史上数学与物理学的发展互相交织缠绵，时而物理学走在前头推动数学的发展，时而数学超前了物理学带动物理学的进步。”
“咳——世间本没有物，大爆炸产生了宇宙；世间本没有数学，思考的人多了也便有了数学。”
“呵呵！你这有点唯心主义的味道啊！”
“‘万物皆数’才唯心呢！毕达哥拉斯的这句话只承认数、不承认物，说物的本源是数，而我认为物在先，数是物之理。”
“有道理。作图问题可以说源自毕达哥拉斯，还有一个历时更长的问题也是源自毕达哥拉斯。”
“还有一个？这我倒没有印象，说来听听！”
“毕达哥拉斯数。”
“就是类似于勾3股4弦5的三元数组，还有6、8、10，9、12、15等，或者说凡是能满足x2 + y2 = z2方程的整数解就是毕达哥拉斯数。”
“毕达哥拉斯之后，人们继续着他的研究。之后大约750年，也就是公元250年，有位生活在亚历山大城的数学家丢番图，写了十五卷的《算术》，但一场大火烧掉了大部分，只留传下来六卷。他发展了代数概念并提出了一种特定类型的方程，今天人们称之为丢番图方程。”
“是什么样的方程？”
“刚才你说的x2 + y2 = z2方程，如果指定整数解，这就是一个丢番图方程。类似地还有y3 = x2 + 2，如果也规定整数解，看看能是什么？”
皓天低头心算起来，不一会儿就报出了答案：“33 = 52 + 2！”
“能再找出一个解吗？”
“应该可以！这是一个不定方程，我只是将较小的自然数往方程里代，很快就找到了这个解。自然数有无穷多个，如果用计算机帮忙的话，一定会找到的。”
“这么肯定！看起来好像是这样的，但事实上，在无穷的自然数里，只有3和5是这方程的整数解，再也没有其他的解了！”
“谁也不可能将自然数都试一遍吧？必须得证明了！”
“费马曾说他证明了此事，但他没有发表证明，后来人找到了一个证明这个方程只有一组整数解的方法。”
“费马是谁？哪个时代的？物理学上有个‘费马原理’，指光从一点到另一点所走过的路径，总是用时最少或最多的。这个是他提出来的吗？”
“落伍了吧，居然连‘业余数学之王’都不知道。他是和笛卡儿同时代的数学家，但是业余的。他利用业余时间研究数学，在微积分、解析几何、概率论和数论等方面都做出了重大开创性的贡献。正如他自己所说的‘我已经发现了大量极其美妙的定理’。”
“‘业余数学之王’！我要去研究一下，好歹我也算是个业余数学爱好者。我要看看他和丢番图与毕达哥拉斯，是怎样为一个数学问题跨越几千年时空协同作战，演绎一曲人类的智慧赞歌的。”
“好！赶紧回去！进入‘亲历2050’！”
（江苏省新海高级中学 刘 玮）