对n棱锥涂色问题的若干思考

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涂色问题是一类非常有趣的问题，在高考中也经常出现，它包含着丰富的数学思想，它还有利于培养学生严谨的思维能力和思维策略.下面就来看一类最简单的涂色问题.

图1

【例1】用5种不同的颜色给图1中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法.

分析：先涂D区域有5种涂法，然后A区域有4种涂法，C区域有3种涂法，B区域有2种涂法，由乘法原理可知，有N=5×4×3×2=120种.

【例2】至少需要多少种颜色才能使图1中的A、B、C、D四个区域的涂色满足每个区域涂一种颜色，且相邻区域颜色不同.

分析：先涂区域D，只需一种颜色，再选区域A，为使区域D和A颜色不同，故涂完A区域，已使用了2种颜

色，再涂C区域，需要用到第3种颜色，最后涂B区域，需要用到第4种颜色.所以将图1每个区域涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，需要用到4种颜色.

【例3】将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种可供使用，求不同的涂色方法总数.

分析：可将三棱锥的顶点往下作投影，或者是将三棱锥看成可以拉伸的薄膜状表面，变成平面图形，则空间图形的涂色变为平面图形的涂色，继而将点扩充为平面区域，就可变成平面内圆形区域的涂色问题（如图1），于是此问题的解法同例1.

继续探讨此问题.

图2

【例4】用5种不同的颜色给图2中A、B、C、D、E五个区域涂色，规定每个区域涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法.

分析：先涂E区域有5种涂法，

然后A区域有4种涂法.

以下分两类讨论：若D区域和B区域颜色相同，则B区域和D区域有3种涂法，C区域有3种涂法，由乘法原理可知，有N1=5×4×3×3=180种；若D区域和B区域颜色不同，则B区域和D区域有3×2种涂法，C区域有2种涂法，由乘法原理，有N2=5×4×3×2×2=240种.

由加法原理可知，有N=N1+N2=180+240=420种.

【例5】至少需要多少种颜色才能使A、B、C、D、E五个区域的涂色满足每个区域涂一种颜色，且相邻区域颜色不同？

分析：先涂区域E，只需一种颜色，再选区域A和D，两种颜色即可，再涂B区域和C区域，需要用到第3种颜色，故只需3种颜色即能满足要求.

【例6】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种可供使用，求不同的涂色方法总数.

分析：类似例3的分析可知，此题的解法同例4.

由前面6个例题的讨论，将此问题进行推广.

推广1：用5种不同的颜色给n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，用an表示这个n棱锥总的涂色总数，则有如下结论：

an=120，n=3，5×4×3n-2+5×4×3n-3×22，n≥4.

图3

证明：可将n棱锥的顶点往下作投影，或者是将n棱锥看成可以拉伸的薄膜状表面，变成平面图形，则空间图形的涂色变为平面图形的涂色，继而将点扩充为平面区域，则可变成平面内圆形区域的涂色问题（图3）.

由例1可知，当n=3时，a3=120，成立.

当n≥4时，先涂B区域，有5种涂法；再涂A1区域，有4种涂法；涂A2区域，有3种涂法；…；An-2区域有3种涂法.

下面分两类情况讨论：若An-1与A1的颜色相同，则An有3种涂法，由乘法原理可知，有N1=5×4×3n-2种；若An-1与A1的颜色不相同，则An-1有2种涂法，An有2种涂法，由乘法原理可知，有N2=5×4×3n-3×2×2种.由加法原理可知，an=5×4×3n-2+5×4×3n-3×2×2，得证.

推广2：要使n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，当n为偶数时，只需3种颜色即可，当n为奇数时，则需要4种颜色.

证明：由推广1的讨论可知，此问题可以看成图5的平面问题.当n为偶数时，先涂B区域，需要1种颜色；接着涂A1，A3，…，An-1总共n2 个区域，只需用到一种颜色便能将其与B区域区分，最后只需用另外一种颜色涂剩下的A2，A4，…，An区域.所以当n为偶数时，只需3种颜色便能使n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色.

当n为奇数时，先涂B区域，需要1种颜色，接着涂A1，A3，…，An-2总共n-12 个区域，只需用到一种颜色便能将其与B区域区分，接着涂A2，A4，…An-1的n-12 个区域，需要用到第3种颜色，最后还剩下An这块区域，但它要与B、A1和An-1区分开，所以要用到第四种颜色才能使棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，得证.

当然，在推广2的基础上，也可以将推广1进行适当变化.例如用4种不同的颜色给棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，有多少种不同的涂色方法（用6种、7种、8种不同的颜色均可，只需保证颜色数大于等于4种即可）.为此，得到如下推论：

推广3：用m（m≥4）种不同的颜色给n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，用an表示这个n棱锥总的涂色总数，则

anm（m-1）（m-2）（m-3），n=3，m×（m-1）×（m-2）n-2+m×（m-1）×（m-2）n-3×（m-3）2，n≥4.

推广3的证明方法类似推广1，在此不再赘述.