数学思想方法在小学数学中的基本应用

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数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略。引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高学生思维水平、建立科学的数学观念、发展和运用数学的重要保证。下面介绍几种常用的数学思想方法及其在教学中的运用。

一、符号化思想

华罗庚说过：“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性。”用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。数学中各种量的关系、量的变化以及量与量之间的推导和演算，都是通过用字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，这样的处理便于理解，便于记忆，便于运用。

如教学“数学广角――排列组合”时，某老师设计了这样一个环节，在学生初步能够表示多种搭配方案后，出示生活中的例子：衣服搭配、早餐搭配，让学生用自己喜欢的方式把搭配方案表示出来。教学过程中，教师要适时引导学生运用语言、符号来描述自己的思维过程，并通过语义互译，渗透符号化思想，给抽象思维过程以简约、概括、直观的表征，让学生体验符号化的优势。

二、转化思想

在数学教学中，解决数学问题往往不是直接解决原问题，而是将原问题进行变换，使其转化为一个或几个已经能够解决的问题，这种思想叫做转化思想。与原问题相比，利用转化得到的新问题是学生能够解决的或较容易解决的。所以，转化目的是化繁为简、化难为易、化未知为已知。

如，一位教师创设买东西的情境来教学“小数乘整数”。

师：同学们从情境图中收集到哪些信息？要求什么问题？

生：王阿姨买了3块蛋糕，每块蛋糕1.2元。要求3块蛋糕多少元？

师：怎么列式？

生：1.2×3。

师：1.2×3，怎么算？

生：老师还没有教过。

师：大家能联系自己学过的知识，先想一想，再尝试地算一算吗？谁来说一说？

生1：1.2×3就是3个1.2相加，1.2+1.2+1.2=3.6（元）。

生2：1.2元=12角，12×3=36（角），36角=3.6元。

师：同学们可真了不起，想出了这么好的办法来解决这个新问题。老师听出来了，在不知不觉中你们都把新问题转化成了旧知识。（板书：新问题――旧知识）

师：把新问题转化成已经学过的旧知识，这种方法就是转化法。它是我们学习数学经常要用到的一种好方法，它是将需要解决的问题转化为已经学过的旧知识，最后达到解决问题的一种方法。即通过引导学生应用以前所学过的小数加法和元、角的知识，将未知化为已知，从而体验“转化”思想在解决新问题中的价值。

三、假设思想

假设是一种常用的推测性的数学思想方法。小学数学解题中，有些问题的数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手。这时，可以根据问题的具体情况合理假设，由此得出一些关系和结论，产生差异与矛盾，通过分析与思考，找出差异的原因，使复杂问题简单化，数量关系明朗化，从而达到解决问题的目的。

如：养鸡场分三次把一批肉鸡投放市场，第一次卖出的比总数的 多100只，第二次卖出的比总数的 少120只，第三次卖出320只。这批鸡共有多少只？

这道题的特点是分率后面还有个具体数量，给思考带来麻烦。解答时可以假设没有后面的具体数量，去零为整，这样便于思考。假设第一次正好卖出总数的 ，把多的100只放在第三次卖出，即第三次要多卖出100只；假设第二次正好卖出总数的 ，那么少的120只需要从第三次取来，即第三次要少卖出120只。这样，第三次卖出的只数是320+100-120=300（只）。由此可求出这批鸡共有300÷（1- - ）=1050（只）。

四、模型思想

《数学课标》指出，“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”教师在渗透“模型思想”时，应注意以下几个问题：1.小学阶段的基本数学模型主要有“加法模型”、“乘法模型”、“函数模型”、“方程模型”，其中，“加法模型”可以推演出“减法模型”，“乘法模型”可以推演出“除法模型”，“函数模型”主要表现在周长公式、面积公式、体积公式以及“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”等关系式中。2.随着数学学习的深入，“模型思想”的重要性表现更为明显，更多体现在生活问题数学化的过程中，是解决生活实际问题以及数学学科发展的重要思想。小学阶段所学知识是最基础的数学知识，因此“模型思想”只要求初步渗透。3.模型思想包括建立模型和求解模型两个部分，其中，建立模型是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、函数等模型，是生活问题或具体情景的数学化过程，求解模型是数学问题解决的过程。

因此，教师要根据学生的认知水平和生活经验，重视生活问题的抽象概括和数学化的过程，为模型思想的初步渗透和建立奠定思维基础。在“数的运算”教学中，可以进行“加法模型”“乘法模型”等思想的渗透；在周长、面积、体积等知识教学中，可以进行“函数模型”思想的渗透；在简易方程知识的教学中，可以进行“方程模型”思想的渗透等。

五、极限思想

极限是用来描述变量在一定变化过程中的终极状态的概念，极限思想为数学的发展提供了强有力的思想武器。

如教学“圆的面积”时，教师比较注重对学生渗透极限思想，让学生体会到“化圆为方”、“化曲为直”的数学方法。学生在经历圆面积计算公式的推导过程中，通过教师点拨引导，大胆放手让学生自主探究，合作交流，大部分学生都是先把圆分成相等的两部分，然后把两个半圆8等分，12等分，16等分等，并把它剪开，再拼凑成近似于平行四边形或长方形的图形。推导过程是学生通过动手操作、小组合作交流得出来的。最后运用课件演示进行验证，突出如果把圆64等分、128等分以及更多等分，让学生感受到这是一种用“无限逼近”的方法来推导圆的面积计算公式，感受到把圆等分的份数越多，“弧”就越接近于“直”，拼成的图形越接近于长方形或平行四边形。这时长方形或平行四边形的面积就越接近圆的面积，从而使学生初步感受“无限”思想。

六、对应思想

对应思想是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法，是解答实际问题的常见方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。在“数的认识”教学中，可以运用“一一对应”的方法培养学生的对应意识，逐步形成对应的数学思想。

如教学“用分数知识解决问题”时，抓准分率与具体量的对应关系是解答的关键。用分数知识解决问题的数量关系比较抽象，必须充分利用半具体半抽象的线段图作为解题工具。通过线段图帮助，明确谁是单位“1”，谁是对应分率，从而帮助学生理清思路，找到解题线索，有利于发展学生的逻辑思维能力。如：小新看一本120页的故事书，第一天看了总页数的 ，第二天看总页数的 ，___________？（让学生提出问题并列式解决）

显然，分率 对应的是第一天看的页数；分率 对应的是第二天看的页数；分率（ + ）对应的是前两天看的页数；分率（1- - ）对应的是还剩下的页数。

为此，教师在教学中要有意识地渗透对应思想，增强学生的对应意识。只有学生掌握了对应的思想方法，无论用分数知识解决问题的条件如何变化，都能认清题目中的量与率的对应关系，找到解决问题的途径与方法，为解决实际问题奠定基础。

七、函数思想

运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处就在于它是用运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律。学生对函数概念的理解有一个过程，教学中教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

如让学生观察“20以内进位加法表”，发现加数的变化引起和的变化的规律等都较好地渗透了函数思想。在低年级教材里，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化，也是找出其对应关系。六年级正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数的概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，画龙点睛地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系，帮助学生形成初步的函数概念。为此，在教学中渗透函数思想的内容时，可以这样安排：先让学生独立计算，然后指名汇报，师生订正，接着再引导学生认真观察比较，发现有什么规律，答案的变化是怎样引起的？通过观察对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，这样，函数思想就自然而然地渗透在其中。

八、分类思想

依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类思想。“物以类聚，人以群分”，将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论。

分类思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。数学中的分类思想具有两个特性：1.统一性。要进行分类首先必须将对象视为统一整体，然后进行分类；或者通过分类，指出对象间某种共同的联系，进而表现出其统一的属性。2.差异性。分类不仅揭示了对象的整体统一性，也刻画了它们的个体差异性，这种差异性才使得不同对象得以区别，分类得以实现。