三次函数极值的导数求解法

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摘 要: 本文从函数极值概念出发,利用函数极值的导数求解方法,给出了三次函数极值的导数求解,并举例应用。

关键词: 函数极值 三次函数极值 导数求解

1.函数极值的概念

已知函数y=f(x),其定义域是D。设x∈D,如果存在一个小区间(u,v),使得x∈(u,v)?奂D,并且在此小区间内,当x≠x时,恒有f(x)f(x)),则称函数f(x)在x处有极大值(或极小值),并称x是函数f(x)的一个极值点。

2.函数极值导数求解方法[2]

(1)求导数f′(x)。

(2)令f′(x)=0,求出f′(x)=0的所有实数解。

(3)检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值。

3.三次函数极值导数求解的具体过程

已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0),求其导数f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0),由于f′(x)是一个二次函数,Δ=(2b)-4×(3a)×c=4b-12ac,要求f′(x)=0的实数根,需判断Δ与0的大小关系。以下就对Δ进行讨论。

(1)当a>0时。

Ⅰ若Δ>0时,则此时f′(x)=0有两个不同的实数根,设为x、x(x

由图1可知x0,①

x

x>x时,f′(x)

由①②可得x为f(x)的极大值点;②③可得x为f(x)的极小值点。

Ⅱ若Δ=0时,则此时f′(x)=0有两个相同的实数根,设为x=x,则y=f′(x)的图像如

由图2可知x0,

x>x时,f′(x)>0,

由此可得f(x)无极值点。

Ⅲ若Δ

(2)当a

Ⅰ若Δ>时,则此时f′(x)=0有两个不同的实数根,设为x、x(x

由图3可知x

x

x>x时,f′(x)

由④⑤可得x为f(x)的极小值点;⑤⑥可得x为f(x)的极大值点。

Ⅱ若Δ=0时,则此时f′(x)=0有两个相同的实数根,设为x=x,则y=f′(x)的图像如

由图4可知x

x>x时,f′(x)

Ⅲ若Δ=0时,则此时f′(x)=0没有实数根,所以无极值点。

4.结论

由(1)(2)讨论的过程可得如下结论:

对于f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)求其极值点,先求其导函数f′(x)=3ax+2bx+c(a≠0),判断f′(x)的判别式Δ=4b-12ac与0的大小关系。

(1)当Δ>0时,函数f(x)有两个极值点,要求出具体的极值点,只需求出f′(x)=0的两个不同的实数根,当a>0时,较小的实数根为f(x)的极大值点,较大的实数根为f(x)的极小值点;当a

Ⅱ当Δ≤0时,函数f(x)无极值点。

5.应用举例

例1:求f(x)=x-6x+9x-10的极值。

解:f(x)′=3x-12x+9,Δ=(-12)-4×3×9=36>0,

则f′(x)=0的两实数根为x=1、x=3,

由于a=1>0,则x=1为f(x)的极大值点,极大值为f(1)=-6;x=3为f(x)极小值点,极小值为f(3)=-10。

例2:求f(x)=x-3x+3x+5的极值。

解:f′(x)=3x-6x+3,Δ=(-6)-4×3×3=0,

则f(x)无极值点。

例3:求f(x)=x-4x+6x+5的极值。

解:f′(x)=3x-8x+6,Δ=(-8)-4×3×6=-8

则f(x)无极值点。

参考文献:

[1]郭益民.三次函数极值的初等求法[J].中学数学月刊,2007,(1).

[2]武泽涛.高中数学速记速查[M].西安:陕西科学技术出版社,2009,(2):266.

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