高中数学中分段函数问题的研究与分类总结

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分段函数一般属于非初等函数，是高等数学中常见的一类函数.这类函数的性质与解题方法较之初等函数要繁杂得多.而高中数学分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.本文就高中数学中分段函数问题的研究与分类总结如下.

一、 分段函数的含义

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：

（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

二、分段函数的定义域

这类问题先求出各分段上的解，然后再合并，体现了“先分后合”的思想.

【例1】

设函数f(x)=2-x-1（x≤0），x12 （x＞0），

若f(x0)>1，求x0的取值范围.

解：若x0≤0，则有2-x0-1>1，得x00，则有 x12 0>1，得x0>1.综合可得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

三、 求函数的值域

求函数的值域关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决.

【例2】 已知函数f(x)=x2+1,x∈［0,2］;3x-1,x∈(2,4］;11,x∈(4,+∞),

求函数f(x)的值域.

解：当x∈［0,2］时，f(x)∈［1,5］；当x∈(2,4］时，f(x)∈(5,11］；当x∈(4,+∞)时，f(x)=11.故函数f(x)的值域为［1，11］.

四、求分段函数的函数值

求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.

【例3】 已知函数f(x)=2x(x＜0),3(0≤x≤1),log13 x(x＞1).

求f{f［f(a)］}(a

分析：f(x)是分段函数，要求f{f［f(a)］}，需要确定f［f(a)］的取值范围，为此又需确定f(a)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解.

解 a＜0,f(a)=2a,0

f{f［f(a)］}=f(3)=log13 3=-12.

五、 求分段函数的解析式

求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式，常用解法是待定系数法、数形结合法等.

【例4】 设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.

解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b.射线过点(－2，0)，0=－2+b，即b=2，f(x)=x+2.

(2)当－1

f(x)=－x2+2.

(3)当x≥1时，f(x)=－x+2.

综上可知，f(x)=x+1（x≤-1），2-x2(-1＜x＜1),-x+2（x≥1）.

【例5】 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

(3)试求y=f(x)在［4,9］上的解析式.

解：(1)证明：y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(4－5)=f(－1).又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，f(1)=－f(－1)=－f(4),f(1)+f(4)=0.

(2)当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).

(3)y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，f(0)=－f(－0),f(0)=0.又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，可设f(x)=kx(0≤x≤1).f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k?1=k,k=－3.当0≤x≤1时，f(x)=－3x；当－1≤x＜0时，f(x)=－3x；当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.f(x)=

-3x+15(4≤x≤6),2(x-7)2-5(6＜x≤9).

六、 求分段函数的最值

求分段函数的最值常用的方法有：（1）数形结合法；（2）逐段分析，再综合求解.

【例6】 求函数y=2x+3(x≤0),x+3(0＜x≤1),-x+5(x＞1)

的最大值.

解法1：先求每个分段区间上的最值，后比较求值.

当x≤0时,y=f(x)=2x+3,此时显然有ymax=f(0)=3;

当0

当x>1时，y=f(x)=-x+5，此时y无最大值.

比较可得当x=1时,ymax=4.