特例在数学解题中的妙用
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特殊问题的解决孕育着一般问题的解决，因此，一般问题特殊化是探索解题途径常见的思想和方法.形象地说，它是一种“以退求进”的思考策略.华罗庚教授说得好：“善于 ‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀巧！”它在解题中有着不可小视的作用.
一、 特值代换，是问题迅速获解的途径
解数学的选择、填空题时，巧妙运用特值代换，能有效提高解题的速度和准确度.由于选择、填空题不要求写解过程，所以可以用特殊代替一般的方法巧解某一类的选择、填空题.
如：（2010厦门中考题）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着CBA的方向运动（点P与A不重合）.设P的运动路程为x，则下列图象中ADP的面积y关于x的函数关系（）
分析可以取特殊点验证，当P与C重合时，ADP的面积为2.即x=0，y=2；当P与B重合时，ADP的面积为2，即x=2，y=2；当P与A重合时，ADP的面积为0，即x=4，y=0（但点P与A不重合故为空心点）.所以只有C正确.
又如：在某次聚会上，每两人都握手一次，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列方程正确的是（）
A． x（x-1）=10 B. =10
C. x（x+1）=10 D. =10
分析题中已有一个特例是每两人都握手一次，也就是x=2时，共握手一次，左边的代数式只有 =1，故选Ｂ.
又如填空题：已知+=3，则的值为.
分析可以取y=1时，得x=代入代数式计算得4.
共性寓于个性之中，很多题目都是由一个或几个特殊情况经过分析进而推测出一结论，这种思路用符合题意的特殊值代换，变抽象为具体，化难为易，巧取捷径，迅速求解.
二、 特值验证，查找结果正确性
一个数学结论的成立必须对其允许的各种可能情况均经判断成立后，才能确认，因此，要否定一个数学命题，只要举出一个令其不能成立的特例即可.特例检验就是从这一思想出发，当我们获得一般性的结论时，用一些适合题意的简单数值、简化问题、给予特例等代入后的结果也一定正确.否则，即可断定题解有误.这种思想在数学上用的较多的地方是方程的验根.但还有在数学上不少地方用到，如代数式的化简，化简结果是否正确可用特值代入检查.先用特值代入原式计算出结果与代入化简后的式子结果是否相等，如不等就说明代数式化简过程有误.
例化简：（x-y）2-（x+y）（x-y）
解原式=（x2-2xy+y2）-（x2-y）=x2-2xy+y2-x2+y2=2y2-2xy.
结果是否正确，可用特值验证.可以取x=2或3，两个值进行验证，能使原式的值与化简后的值一致，说明化简没有错误，还可以用其它数值，一般取两三值即可.又如：不等式的解集的验证，例解不等式2x-2>0解集为x>1，先取x=1验证2x-2=0，看是否成立，如成立，再验不等号的方向，取x=0，在解集为x>1中不成立，再代入原不等式看是否成立，如成立，解集是正确的，反之错误.
三、 特殊探路，是解决问题的突破口
当遇到那些较复杂的问题，特别是遇到看似缺少条件无从下手时，可依据题意先考察其特例，通过特殊量来寻求解题的突破口.对简单情形的观察与分析从中发现普遍规律，从而总结解题思路.从一般到特殊，从全局到细节的反复观察，利于发现新的信息.这类解题常用于猜想命题的求解.
如：（2010吉林中考题）正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上．分别连接BD、BF、FD，得到BFD．
（1） 在图①～图③中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：
（2） 若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想SBFD的大小，并结合图③证明你的猜想．
分析问题（1）是特殊化两个正方形，可计算出SBFD为，即正方形ABCD面积的一半.问题（2）正方形CEFG的边长a可取特殊值去猜想SBFD（即取a=0，a=b时）得到SBFD都为b2，也就是正方形ABCD面积的一半.又由SBCD=b2，可得SBFD=SBCD.这两三角形是同底BD，只要同高，两三角形面积相等.连接FC，就有FC∥BD，命题得证.
以特例为起点，推广为一般结论，形成猜想加以证明得到新的结论，是数学研究的方法之一，也是探索新知的重要途径之一.
四、 反面特例，是否定命题结论的有效方法
反面特例即反例，通常指用来说明某个命题不成立的例子.列举反例也是一种重要的论证方法，构造反例更是培养学生丰富的想象力和创造力的有效手段.如：判断两无理数的和是无理数是否正确？只要列举反面特例，如这两无理数是互为相反数则和为零是有理数，所以命题不正确.
在特殊化寻求解题方法、途径，能收到化难为易，然而每一个问题都有各自的简单情形或特殊对象，而且有时又不止一种，这需要去观察分析找到解题最佳解决办法.
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