二次函数区间最值的求解方法

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇二次函数区间最值的求解方法范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

众所周知,影响二次函数在某区间上最值的是区间和对称轴的位置?郾 本文就区间和对称轴动与静的变化进行分类,探索求最值的方法?郾

一、轴定区间定

这种形式的二次函数的对称轴是固定的,区间也是固定的,因此求它们的最值,只要直接应用单调性即可?郾

例1 求函数f(x)=ax2-2ax+1(a≠0)在[0,2]上的最大值?郾

解析 易知函数f(x)的对称轴是x=1∈[0,2]?郾

当a>0时,其图象开口向上,[f(x)]max=f(0)=f(2)=1;

当a

例2 已知2x2≤3x,求函数f(x)=x2+x+1的最值?郾

解析 易知f(x)是定义在[0,■]上的二次函数,其对称轴是x=-■?埸[0,■],图象开口向上.

故[f(x)]min=f(0)=1,[f(x)]max=f(■)=■?郾

点评 对于二次函数,要结合图象掌握有关性质?郾 如f(x)=ax2+bx+c,不妨设a>0,其图象是顶点为(-■,■),对称轴为x=-■,开口向上的抛物线?郾 当x-■时,f(x)是增函数?郾

结合图象很容易知道f(x)在区间[m,n]上的最大值或最小值:

(1) 当-■∈[m,n]时,f(x)的最小值是f(-■)=■,f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者;

(2) 当-■?埸[m,n]时,若-■

二、轴定区间动

这种形式的二次函数的对称轴是固定的,而区间是变动的,因而求它们的最值必须进行分类讨论才能得出结果?郾

例3 设f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1],对于任意t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)?郾

解析 易知f(x)的对称轴为x=2?郾

当t-1

当t-2≤2≤t-1,即3≤t≤4时,g(t)=[f(x)]min=f(2)=-8;

当t-2>2,即t>4时,g(t)=[f(x)]min=f(t-2)=t2-8t+8?郾

故g(t)=t2-6t+1 (t4)?郾

三、轴动区间定

这种形式的二次函数的对称轴是变动的,而区间是固定的,要求其最值,需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定?郾

例4 如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a>b)?郾 在AB、AD、CB、CD上,分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y?郾

(1) 写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;

(2) 求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?

解析 (1) 易知AEH≌CFG,BEF≌DHG,则

y=S矩形ABCD-2SAEH-2SBEF

=ab-2・■x2-2・■(a-x)(b-x)

=-2x2+(a+b)x(0

(2) 由(1)知y=-2x2+(a+b)x,其图象的对称轴为x=■(a+b),则

当b≥■(a+b),即0

当0

点评 利用二次函数对称轴的可变性求最值时,一定要时刻关注对称轴在区间上的变化?郾

四、利用二次函数的最值求参数的值

利用二次函数在指定区间上的最值,可以确定函数的表达式或参数的值?郾

例5 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4,1]上的最大值为5,求实数a的值?郾

解析 易知f(x)的对称轴为x=-2∈[-4,1],图象开口方向由a决定?郾

若a

若a>0,则有f(1)=5a+a2-1=5,解得a=1?郾

综上可知a=2-■或a=1?郾

例6 已知y2=4a(x-a)(a>0),则当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求实数a的值?郾

解析 将y2=4a(x-a)代入S中,得S=(x-3)2+4a(x-a)=x2-2(3-2a)x+9-4a2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,则S是关于x的二次函数,其定义域为x∈[a,+∞),对称轴为x=3-2a,顶点为(3-2a,12a-8a2),图象开口向上?郾

若3-2a≥a,即0

当x=3-2a时,Smin=12a-8a2=4,解得a=1或a=■;

若3-2a1,则

当x=a时,Smin=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4,解得a=5?郾

综上可知a=1或a=■或a=5?郾

点评 利用二次函数的最值确定参数的值,一定要注意取得最值时的位置,并要加以验证才可以?郾