挖掘“数学规定”背后深层的意义
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【摘要】对于数学课本中不少看似简单的规定，我们往往照本宣科，而很少深入地去考虑这些看似简单的数学规定背后究竟蕴藏着怎样的理所当然。现结合蔡宏圣老师执教的《分数的意义》与自己的教学实践谈谈自己的一些思考。
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）11-0132-01
【案例一】[《混合运算》（苏教版四年级教材）]
（一）引入课题
师：你觉得什么样的运算是混合运算？
生：……
师：请你计算练习纸上12+3-5 4×9÷6 1+5×3，边算边想：第一步先算什么？结果是多少？
学生计算后汇报：
……
生：第三组中先算５×３，结果是１６；１＋５×３先算１＋５，结果是１８。
师：结果是１８的请起立。
（大多数学生都站了起来，还有几个学生在座位上挥着手嚷嚷着要先算５×３，其他学生一脸茫然。）
师：这节课我们一起来研究乘加混合的运算顺序。
（二）探究运算顺序
1.出示：
师：一共有多少钱？
生1：不好算，因为信封里有多少钱不知道。
出示：
生2：5×3=15（元）15+1=16（元）
师：列一个综合算式，用自己的记号表示出先算哪一步。
生：
生：
……
师：同学们想出了这么多办法，从中选一种比较清楚、简洁的。
生：我觉得用加括号的方法表示先算乘法比较好。
师：你觉得乘加混合，先算什么？
生：乘法在左边，先算乘法。
师：乘法在右边呢？
生：加上括号，还是先算乘法。
师：为什么先算乘法？
生：先算加就不等于16元了，就算错了。
2.师：午餐时间到了，要算出小明一家三口3份套餐的价钱，要先知道什么？
生：必须先知道一份套餐的价钱。
出示一份套餐： 鸡蛋１元 面条５元
要求：可以先分步计算，再列出综合算式，并用记号表示出先算什么。
生1：（1+5）×3。
生2：老师，我有点晕，乘加混合，到底是先算乘还是先算加？
师：不但你们晕，人类祖先也晕，先算乘和先算加都有道理，怎么办呢？我们必须订个规定。给大家提供两份材料。
师：从江都到北京旅游，你打算借助以上哪种交通工具去？
生：……
师：哦，看来我们大家总是优先选择更便捷的交通工具，而不会选择最原始的步行方式。
材料二：数数加减乘除
师：用数数的方法也可以解决运算的问题，比如5×3，可以5个5个地数，数3次也能得出结果是15，我们为什么还要用加减和乘除呢？
……
师：有道理！所以在数学上规定，乘加混合先算乘法，不需要任何记号。有时需要先算加法，怎么办？
生：在加法运算上加上括号。
在混合运算的教学中，让学生理解和掌握运算顺序是最重要的。不管是传统的课堂还是倡导以探究为主的新课程背景下的课堂我们教师几乎都把运算顺序看作一种纯粹的规定，一种长期实践中的约定俗成，都是简单地告知学生“乘加混合先算乘”，至于为什么要先算乘而不先算加并没有给予更多的关注。从本课导入部分可以看出乘加混合学生还是根据他们的已有知识（只有加减的时候先算左边的）认为应该先算左边的，这时候教师简单地告诉学生运算顺序就是这样规定的，就应该先算乘法，学生就会要么盲从要么一头雾水。蔡宏圣老师的教学为我们一线教师教学混合运算之类的计算课开拓了一个新的思路，他让学生明白了其实混合运算中运算顺序的规定是有其深层意图的，它是不断地用高级的简洁的方法代替低级的繁琐的方法的过程。从中我们真正感受到计算课再不是枯燥的、不动脑筋的、单纯的记忆与机械的模仿，而是建立在理解基础上的一种数学思维活动。在这样的课堂上孩子的数学思维真正得到了锻炼与发展。
【案例二】[《确定位置》（苏教版五年级教材）]
师：你能说说自己的位置吗？
生1：我坐在第4大组第2个。
生2：我坐在第3排第4个。
……
生：我觉得这样太乱了，应该具体规定一下怎么说。
师：你觉得应该怎样规定？
生：比如说规定说成第几小组第几个或者第几列第几个。
师：好，我们规定竖排叫做列，横排叫做行。确定第几列一般从左往右数，确定第几行一般从前往后数。现在你能说说自己的位置吗？
生：我坐在第3列第5行。
生：我坐在第6列第6行。
师：我用两个数字来表示一个同学的位置，大家看看是谁的位置。
板书：3 4
生：是李杰。是徐坤。
师：怎么出现了两个人？
生：李杰是第3列第4行，徐坤是第3行第4列，用3 4都可以表示。
师：这样就出现了歧义，如果我想用3 4只能表示一个人，行吗？
生：那就只能再作一次规定了。
师：你们觉得呢？
生：只能这样了。
师：为了防止发生这种歧义，就得有一个统一的标准。在数学中，人们把表示第几列的数写在前面，把表示第几行的数写在后面，中间用逗号隔开，再用小括号将这两个数括起来，我们把这种方法叫做“数对表示法”。
《用“数对”确定位置》这一内容，主要将学生已有的用类似“第几排第几个”的方式描述位置的经验加以提升，用抽象的“数对”来表示位置，确定位置就要遵守“第几列第几行”的规定。很多教师在教学这样的内容时，只是简单地“告诉”学生前人如何规定，我们应该怎样做，至于为什么要做规定却甚少提及。我在教学中尝试让学生在不同的表述方式中产生认知冲突，自发地产生必须做个规定的强烈要求。在上述教学过程中，学生两次产生了这样的需求，教师也一次次地“统一”“规定”，解决了学生的困难，满足了学生的需求，学生从中充分感知到了“规定”的合理性与必然性。
像数对中“列在前，行在后”，认识平面图上的方向中“上北下南、左西右东”，这样约定俗成的规定在数学知识体系中占有一定的份额，这些知识不便于向学生解释其中的“为什么”，教师也都因为其“规定性”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学是远远不够的。久之，孩子会认为数学就是权威的、书本的，我们只要照做就行了，何谈培养孩子的探究精神和创新意识？