识别模式巧解排列组合

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排列组合问题是高考的必考题，它题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，是解决排列组合的有效途径.下面笔者结合自己的教学粗浅地介绍巧解排列组合的几种方法。

1.相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：A，B把 视为一人，且B固定在 A的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，

2.相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

3.有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例3.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 选C .

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

答案：A .

4.全员分配问题分组法：

例4.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

答案： B.

5.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例5.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

6.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

例6.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

7.选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例7.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

8.可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.

例8.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.

9.复杂排列组合问题构造模型法：

例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法，所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

10.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：

例10.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四接直线有3×58=174对.

总之，在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，找准适合的类型，就可以快速准确的解决排列组合问题；另外在解答排列组合问题时，要避免重复和遗漏，多总结规律，掌握技巧，不断提高同学们的分析问题和解决问题的能力。