基于Copula的股票市场波动溢出分析
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摘 要：对于动态投资组合与风险管理来说，测定波动溢出效应是非常重要的。已有的研究是建立在不同金融市场之间的波动是线性相关的，而线性相关并不能描述金融市场之间的非线性关系。借用Copula技术来描述股票市场之间的非线性关系、SV模型来刻画股票市场数据的边缘分布，并引入波动变结构论分析判断波动溢出，实证分析验证了方法是可行的。
关键词： SV模型;多元SV模型;股票市场;波动溢出
中图分类号：F830.91 文献标识码： A 文章编号：1003-7217(2011)06-0053-06
自20世纪80年代，随着世界各国经济的复苏，金融市场逐渐呈现出了金融自由化、信息化、融资证券化和金融创新等特点，全球经济趋向于一体化。金融全球化导致了各国金融市场的开放程度不断加深，资本在全球范围内的大量、快速和自由流动。风险特性不同的各类资本在全球金融市场重新配置、重新组合，极大地改变了全球金融市场的运行方式和风险表现。资本持续流动在推动金融深化、扩大金融规模、提高金融市场效率的同时也带来了金融波动以及金融市场动荡频繁爆发等问题。由于经济全球化与金融一体化大大增强了全球经济、金融市场间的相互依存性，全球金融市场之间的价格协同运动使任何地区的金融市场的局部波动都会迅速波及、传染、放大到其他市场。
股票市场波动溢出是指不同股票市场的波动之间可能存在相互影响，波动会从一个市场传递到另一个市场。以往的研究认为不同波动间的关系是线性的，而且其方差是有限的，否则就没有经济意义，但股票市场中的数据往往是厚尾分布，它们的方差有时并不存在，因此无法准确判断不同股票市场间是否存在波动溢出；另外，线性相关系数无法捕捉变量间非线性的相关关系，只有当联合分布服从椭圆分布如二元正态分布时，联合分布才能由变量间的相关系数和边缘分布唯一确定，而椭圆分布只能反映变量间对称的相关模式，也就是说，线性相关系数和与之对应的椭圆分布只能描述变量间线性的相关程度和对称的相关模式。因此用线性相关系数来分析存在非线性关系的变量间的相关性时会产生误导。
本文针对传统方法不能测度不同波动间的非线性关系问题，使用Copula函数度量不同波动间的线性关系及非线性关系，将波动变结构与Copula函数结合，进而分析研究金融市场之间的波动溢出。
一、Copula函数
定理1:(Sklar定理)［1］令F为具有边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数，那么，存在一个Copula函数C，满足:
F(x1,…,xn,…,xN)=C(F1(x1),…,
Fn(xn),…,FN(xN)) (1)
若F1(•),…,FN(•)连续，则C唯一确定；反之，若F1(•),…,FN(•)为一元分布，那么由式(1)定义的函数F是边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数。
通过Copula函数C的密度函数c和边缘分布F1(•),…,FN(•)，可以方便地求出N元分布函数F(x1,…,xn,…,xN)的密度函数：
f(x1,…,xn,…,xN)=c(F1(x1),…,
Fn(xn),…,FN(xN))∏Nn=1fn(xn) (2)
其中c(u1,…,un,…,uN)=C(u1,…,un,…,uN)u1…un…uN，fn(•)是边缘分布Fn(•)的密度函数。
由上述定义及定理可知，Copula函数是求联合分布的便捷可行的途径。
二、边缘分布模型
合理构建Copula模型的重要前提是选择恰当的边缘分布模型。目前，金融时间序列的一元建模问题已经趋于成熟，其中描述时变方差的模型一般有两类，即自回归条件方差（ARCH）模型和随机波动（SV）模型，它们可以较好地刻画金融时间序列条件分布的时变波动、波动聚类、偏斜、高峰、厚尾等特性，这里使用SV模型描述金融收益序列的条件边缘分布。
（1）正态SV模型。
基本的离散SV模型如下：
yt=exp (ht/2)εt (3)
ht=α+βht－1+σηηt (4)
其中εt和ηt是相互独立的，εt是一个鞅差分序列，且扰动项εt和ηt可以是同期相关的。一般假定εt~n.i.d(0,1)，ηt~n.i.d(0,1)。α,β为常数，β为持续性参数，反映了当前波动对未来波动的影响，|β|＜1。ht也可以表示为一个ARMA过程。
（2）厚尾SV模型。
为了刻画金融时间序列的高峰、厚尾特性，Kim，Shephard和Chib(1998)［2］将扰动部分服从一个具有ν各自由度的t分布，并记为SV-t模型。
在SV-t模型中，扰动部分εt被假设为服从均值为0，方差为1的正规化t分布，即：
f(εt)=πν－21/2Γν+1/2Γν/2
1+ε2tν－2－ν+12 (5)
其中参数ν为自由度。只要4＜ν＜
SymboleB@ ，t分布的峰态系数就大于3，而ν
SymboleB@ 时就变为正态分布，ν＜4时其峰态系数不存在。
三、金融市场波动变结构点的诊断
如何才能有效准确地找到波动的变结构点，一般有两种方法：一是使用经济事件公告的日期，另一种是使用统计诊断方法。前者简单易用，用不到任何的数理工具，但在确定波动的变结构点上存在不少的实际问题。首先，我们在实践上很难确定在相关信息的很长一段时间区间内，公告日期到底是哪天。即便这一点可以做到，我们也很难确定到底是哪一条信息足以改变风险（波动）的结构。要知道有不少的信息对股票价格的影响太弱而没能改变风险的结构。而且，有许多的信息不是公开的，但它们也有可能对公司的风险结构产生较大的影响。
对于模型结构变化点的检测，这里使用苏卫东、张世英(2003)提出的Bayes显著检验方法诊断波动模型变结构点的方法［3］ 。
运用Bayes时序诊断法来诊断序列方差的变结构点的步骤如下［4］：
(1) 对原始样本的方差进行平稳性检验。
假设H0:β=σ22/σ21=1，其中σ22与σ12是两个隐含体制下的方差。检验需要计算零假设下的无条件的概率（p-）值，并且方差的这种平稳性检验需要在将每一数据点添加到初始样本上时重复进行，直到p-值小于预定的显著性水平（零假设被拒绝）为止。
(2) 确定方差的变结构点。如果零假设被拒绝，就认为在样本上存在一个方差的变结构点，然后对这一样本计算每一可能的两体制划分的后验概率。如果一个变结构点所对应的体制分类有着最大的后验概率，从后验的角度上讲，它就更可能是方差的变结构点。将发现的第一个变结构点记作1。
把第一个变结构点1的下一个数据点1+1作为原始样本的起始点，重复以上程序直到所有的数据点被探寻一遍，这样所有的变结构点被依次找到。
四、分阶段构建Copula模型
分阶段构建Copula模型，就是按照一定的准则先将已经进行概率积分变换后的多个金融时间序列化分为不同的相关时段，然后对各个时段的时间序列分别构建用于描述该时间段内各个序列间相关结构的Copula函数，Copula函数的参数在不同的时间段内有不同的值或者函数本身在不同的时间段内有不同的形式和参数。
设{y1t},{y2t}为两个随机过程：
y1t~F1t(y1t;φ1) t=1,…,vy11
y1t~F1t(y1t;φ2) t=vy11+1,…,vy12
y1t~Ft(y1t;φK1) t=vy1K1－1+1,…,T
y2t~Gt(y2t;γ1) t=1,…,vy21
y2t~Gt(y2t;γ2) t=vy21+1,…,vy22
y2t~Gt(y2t;γK2) t=vy2K2－1+1,…,T
其中F(•),G(•)分别表示随机变量Y1，Y2的边缘分布函数，νy11,…,νy1K1-1为Copula模型中随机变量Y1边缘分布模型部分的K1-1个变结构点；νy21,…,νy2K2-1为Copula模型中随机变量Y2边缘分布模型部分的K2-1个变结构点。
考虑序列y2t结构变化对{y1t},{y2t}之间的相关系数的影响，根据变结构点νy21,…,νy2K2-1分阶段构建Copula模型：
(y1t,y2t)~C1Ft(y1t),Gt(y2t);ρ1
t=1,…,vy21
(y1t,y2t)~C2Ft(y1t),Gt(y2t);ρ2
t=vy21+1,…,vy22
(y1t,y2t)~CK2Ft(y1t),Gt(y2t);ρK2
t=vy2K2－1+1,…,T
C(•，•；•)为连接两个随机变量的Copula函数，ρi（i=1,2,…,k2）表示考虑序列yt波动结构变化的情况下{y1t},{y2t}之间的相关系数，其中ρi可以是Kendall的秩相关系数τ，尾部相关系数λup (或λlo)。
五、CopulaSV模型
Xu(2003)［5］构造了基于copula理论的二元SV模型:
y1t=exp (h1t/2)ε1t,t=1,…,T
h1t=α1+β1h1t－1+σ1ηη1t,
η1t~n.i.d(0,1)(6)
y2t=exp (h2t/2)ε2t,
h2t=α2+β2h2t－1+σ2ηη2t,
η2t~n.i.d(0,1) (7)
ε1t,ε2tIt－1~CΦε1t,Φε2tIt－1 (8)
其中C(•,•|•)为任意的二元 Copula分布，
SymbolFA@ (•)为标准一元正态分布函数。
与GARCH模型不同的是，SV模型中的波动是由一个潜在的随机过程来描述的，这使得CopulaSV模型具有一些不同于CopulaGARCH模型的自身的特点。
韦艳华［6］将Xu(2003)的二元CopulaSV模型扩展为具有一般形式的N元CopulaSVNormal模型，假设y1tTt=1,…,ywtTt=1为w个服从SVNormal过程的随机过程，则CopulaSVNormal模型为：
ynt=exp (hnt/2)εnt,n=1,…,w;t=1,…,T
hnt=αn+βnhnt－1+σnηηnt(9)
η1t,…,ηwtIt－1~C1tΦη1t,…,ΦηwtIt－1 (10)
ε1t,…,εwtIt－1~C2tF1ε1t,…,FwεwtIt－1(11)
其中C1t(•,…,•|•)、C2t(•,…,•|•)为任意的一个w元Copula分布，F1(•),…,Fw(•)分别表示标准正态分布、均值为0、方差为1的正规化t-分布中的任意一种分布函数，即ε1t,…,εwt的条件分布为标准正态分布、均值为0、方差为1的正规化t-分布中的任意一种分布形式。
六、Copula模型的估计
由于Copula函数本身就是一个分布函数，因此极大似然估计是最常用的Copula模型的参数估计方法。通过Copula函数的密度函数c和边缘密度函数，可以求出联合分布函数的密度函数：
f(y1,…,yn,…,yw)=c(F1(y1),…,
Fn(yn),…,Fw(yw))∏wn=1fn(yn)(12)
其中c(u1,…,un,…,uN)=C(u1,…,un,…,uN)u1…un…uN，fn(•)是边缘分布Fn(•)，n=1,…,w的密度函数。
由此容易求出联合分布的似然函数，以二元分布Hy1,y2为例，其似然函数为：
Ly1y2(θ)=Ly1(φ)+Ly2(γ)+LC(φ;γ;κ) (13)
其中φ、γ、κ分别表示相应的边缘分布和Copula函数的参数向量，θφ′;γ′;κ′′，为参数向量矩阵。
由于同时估计的参数过多不利于寻优，而且Copula技术的建模特点使其极适于采用多阶段估计法，很多学者的实证也表明估计Copula模型的方法中，采用两阶段极大似然估计法比一极大似然估计法所得参数估计结果更合理。因此这里选择两阶段极大似然估计法来估计Copula模型的参数。
以二元Copula模型为例，对于时间序列{y1t},{y2t}t=1,……,T，令它们的边缘分布分别为Ft(y1t;φ)和Gt(y2t;γ)，Copula函数为Ct(Ft(y1t;φ),Gt(y2t;γ);κ)，其中φ、γ、κ分别表示相应的参数向量，采用两阶段极大似然估计法可将Copula模型的参数估计分解为两步：
第一步：
arg maxφ∈Rp∑Tt=1ln ft(y1t;φ)(14)
arg maxγ∈Rq∑Tt=1ln gt(y2t;γ)(15)
第二步：
arg maxκ∈Rr∑Tt=1ln ctft(y1t;),gt(y2t,);κ(16)
即首先估计出边缘分布的参数φ和γ，然后将其估计值和作为已知参数代入Copula函数中，进而估计出Copula函数中的参数κ的值。两阶段极大似然估计使Copula模型的参数估计问题大大简化［6］。
七、金融市场波动溢出分析
若要分析判断序列y2t波动对y1t的波动是否存在溢出，可以依次判断ρi（i=1,2,…,k2）在波动变结构点νy21,…,νy2K2-1处是否显著发生变化。对波动变结构点νy1前后的相关系数ρ1,ρ2，假设：H0∶ρ1=ρ2；H1∶ρ1≠ρ2。为了最大程度的减小抽样分布与正态分布的偏差，对相关系数ρi进行Fisher转换［7］：
i=12ln 1+ρi1－ρi, i=1,2 (17)
根据Pedhazur的研究［7］，这里构造Z检验的统计量为：
Z=1－21vy21－3+1vy22－vy21－3(18)
统计量Z近似地服从(0,1)正态分布［8］。给定置信水平α，若|Z|≥zα/2，则拒绝H0∶ρ1=ρ2，否则接受H0∶ρ1=ρ2。
若接受原假设，则说明在变结构点νy21前后的相关系数没有发生显著变化，即在时间段1～vy22内序列y2t波动不会传递到y1t序列，说明虽然两个序列彼此之间相互影响，但是不存在波动溢出；若拒绝原假设，则说明在变结构点νy21前后的相关系数发生了显著变化，即在时间段1～vy22内序列y2t波动不会传递到y1t序列，说明两个序列彼此之间不仅相互影响，而且还存在波动溢出。
分别对变结构点νy22,…,νy2K2-1前后的相关系数，重复上述步骤进行Z检验，并根据检验结果进一步分析判断序列y2t对y1t是否存在波动溢出。
通过检验相关系数在变结构点前后是否显著发生变化来判断分析金融市场之间是否存在波动溢出，不仅能够分析出一个金融市场的波动是否传递到另一个金融市场，而且还能够根据变结构点所发生的日期来分析波动溢出产生的原因及发生波动溢出的时间段［9］。
取2000年1月4日~2005年6月20日期间的上证指数、深圳成份指数、香港恒生指数、韩国综合指数、新加坡海峡指数、日经225指数为原始数据，数据来源于Webstock行情信息系统。由于不同股市指数的基数不同，将股票指数转换为日收益率Rt =ln(Pt/ Pt-1)，其中Pt是股票指数t期开盘价格。由于不同国家的时差以及假日的不同，对原始数据进行预处理，最终每个股票市场得到1177期数据。
这里使用Copula-SV模型进行实证研究。首先，为了克服股市指数日收益率序列的尖峰厚尾现象，采用t分布的SV模型刻画股市指数日收益率序列的波动。其次，使用WINBUGS软件对各股市指数日收益率数据分别进行贝叶斯参数估计。对每个待估计参数进行100000迭代运算，舍弃前4000迭代，即所谓的“燃烧期”，确定了MCMC方法收敛，最后得到参数的估计值。表1给出了t分布SV模型的参数估计值及t统计量。
表1中的K-S统计量及其概率值是根据估计得到的边缘分布，对原序列做概率积分变换，再运用K-S检验方法，检验变换后的序列是否服从(0,1)均匀分布得到的。表中的K-S统计量及其概率值表明，对各序列均没有充分的理由拒绝零假设：“变换后的序列服从(0,1)均匀分布”。另外对变换后的各序列做自相关检验还发现，变换后的各序列均不存在自相关，因此可以认为变换后的序列均是独立的。K-S统计量和自相关检验表明，根据SV-t模型估计得到的边缘分布，对原序列做概率积分变换后得到的序列均服从i.i.d(0,1)均匀分布，说明SV-t模型可以较好的拟合各序列的边缘分布，用它来描述各收益率序列的边缘分布是充分的。
为了判断分析其它股票市场指数对上证指数是否存在波动溢出，首先，采用Bayes诊断程序，分别对深圳成份指数、香港恒生指数、韩国综合指数、新加坡海峡指数、日经225指数日收益率序列的波动变结构点进行诊断；其次，根据深圳成份指数、香港恒生指数、韩国综合指数、新加坡海峡指数、日经225指数日收益率序列的波动变结构点，分别对上证指数与深圳成份指数日收益率序列、上证指数与香港恒生指数日收益率序列、上证指数与韩国综合指数日收益率序列、上证指数与新加坡海峡指数日收益率序列、上证指数与日经225指数日收益率序列构建Copula模型，根据Copula模型检验的方法，分别对Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数、Frank Copula函数进行估计检验，经过比较，Frank Copula函数是比较合适的。最后，根据式(17)、(18)对相关系数τ进行Z检验，检验相应的相关系数τ在变结构点前后是否显著的发生变化。表2~表6列出了各序列波动变结构点的诊断结果，以及Copula模型的相关系数估计结果和Z检验结果。
根据表2~6所列估计结果，分析如下：
(1) 从波动变结构点分析，由于我国经济处于调整阶段，因此深圳股市的波动变化比较频繁，而香港在我国政府大力扶持下，经济已经进入稳步发展阶段，股票市场的波动结构变化不大；东南亚金融危机后，经过政府的不懈努力，韩国与日本的经济也步入正轨，因此其股票市场的波动也相对比较稳定，波动结构变化不大；由于新加坡的经济受外来因素较大，因此其股票市场的波动也是比较频繁的。
(2) 由于Copula函数选择的是Frank Copula函数，因此，所计算的相关系数τ不仅测度了股票市场之间的线性关系，而且还测度了股票市场之间的非线性关系；另外，相关系数τ不仅测度了股票市场之间的非负相关关系，而且还测度了股票市场之间的负相关关系。
(3) 根据相关系数及Z检验结果可知，深圳与上海股票市场之间存在着长期的波动溢出，其原因非常简单，主要是由于在这两个市场上市的公司均为我国的企业，受同一政策影响，且企业之间的经济联系比较密切；新加坡海峡指数与上证指数之间仅在2001年5月左右存在波动溢出，这说明当时新加坡上市公司对上海证券交易所上市公司的影响比较大，并不说明其它时间就没有影响，只不过影响比较小而已；香港恒生指数、韩国综合指数、日经225指数与上证指数之间不存在波动溢出，这说明这三个国家的上市公司对上海证券交易所上市公司的影响比较小，市场的波动不能彼此传递。
(4)通过诊断股票市场日收益率序列波动变结构点、构建合适的Copula模型、检验相关系数是否显著变化来判断分析股票市场之间是否存在波动溢出，其结果与前面章节所得结论相似。由于Frank Copula函数不仅能捕捉线性相关，而且还能捕捉非线性相关关系，另外，股票市场之间的相关关系不仅有负相关，而且还有非负相关，有线性相关，而且还有非线性相关，所以，此方法更符合金融市场的运行规律。由于诊断出了波动变结构点，因此不仅能判断分析波动溢出是否存在，而且还可以根据相关系数发生显著变化的波动变结构点分析产生波动溢出的时间段。
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Volatility Spillover Analysis on the Stock Market based on Copula Theory
TIAN Guang1,2,ZHANG Ruifeng3
(1. School of Management , Tianjin University 300072,China;
2. Graduate School , Hebei University of Economics & Business,P.R.China, 050061,China;
3. Institute of Quantitative & Technical Economics, Chinese Academy of Social Sciences, P.R 100732,China)
Abstract：It is very important to measure the volatility spillover for the dynamic investment portfolio and risk management. The known literature is based on linear correlation of the volatility between different financial markets, however, linear correlation cannot describe the non linear relationship between the financial markets. In this paper, Copula technology is used to describe the non linear relationship between the stock markets and SV models is used to depict the marginal distribution of the data of the stock markets, and Volatility Structural Change is introduced to analyze volatility spillover. At last empirically analyses demonstrate the feasibility of the method.
Key words：SV model; Multivariate SV model; Stock markets; Volatility spillover
收稿日期： 2011-05-25
基金项目： 河北省社科基金项目《私有信息及其化解》（HB11GL016）
作者简介： 田 光（1961―），男，河北保定人，天津大学管理学院博士研究生，河北经贸大学教授，研究方向：教育管理学、管理科学与工程；张瑞锋（1972―），男，河北廊坊人，中国社会科学院数量经济与技术经济研究所博士后，研究方向：金融计量。