“数形”巧转化 “天堑”变通途

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数形转化思想和数形结合思想一样是一种重要的数学思想，把许多代数问题转化成几何问题，即把“数”转化为“形”，可以使那些抽象的数学符号语言变得生动、形象、直观；而将某些图形的属性转化成数量关系即将“形”转化为“数”，可以使学生更好地理解数学性质，掌握数学规律。通过数和形的相互转化与渗透，可以使解决问题变得更加简捷明快，有助于培养学生的知识迁移转化能力，进而提高分析问题和解决问题的能力。因此，让学生在数学学习过程中，逐步掌握这一数学转化思想，是数学课程的一个重要目标。

本文就初中数学教学中如何巧用数形转化思想解题做一些探讨，以供读者参考。

一、代数问题图形化

1.巧用数轴，实现数形转化

数轴上的点与实数具有一一对应的关系，有关实数问题如直观地解释相反数、绝对值的几何意义、实数大小的比较及解不等式组等方面都可以利用数轴加以研究。

例1：已知：不等式组2x-6＜03x+a≥0；有五个整数解，求a的取值范围。

简析：因为不等式组有整数解，所以这个不等式组的解集为-■≤x＜3，但是确定a的取值范围比较困难。若这时利用数轴来分析（如图1），观察图形可知，原不等式组的五个整数解应该是2、1、0、-1、-2。所以-3＜-■≤-2，答案：6≤a＜9。

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2.利用平面直角坐标系，实现数形转化

平面直角坐标系建立后，平面内的点与有序实数对具有一一对应的关系，因此借助平面直角坐标系，数和形之间得以沟通。

例2：（南京）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心。此时，点M是线段PQ的中点。如图3，在直角坐标系中，ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1，P2，P3……中的相邻两点都关于ABO的一个顶点对称。点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环。已知P1的坐标是（1，1）。试写出点P2、P7、P100的坐标。

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简析：本题考查的是点的坐标变换，渗透了数形结合和转化思想，趣味浓题型新，利用两点成中心对称的规律以及点与有序实数对的对应关系，在直角坐标系中依次找出对称点的位置，并确定其点的坐标。不难求出P2（1，-1），P3（-1，3），P4（1，-3），P5（1，3），P6（-1，-1），P7（1，1）……进而发现从P1点开始每六个点一次循环的规律。

答案：P2（1，-1），P7（1，1），P100（1，-3）。

3.巧构特殊图形，实现数形转化

构造特殊图形求解代数问题，就是在用代数方法解代数问题比较困难的情况下，借助于数或代数关系式的几何意义，巧妙构造几何图形，利用几何图形的特性巧解代数题。

例3：比较2+■+■与5■的大小。

简析：比较两个实数的大小通常可用作差法、作商法、平方法等。但本题用这些方法难以奏效，联想到■、■、■都是网格中格点线段的长度，因此，可通过绘制网格图形，利用勾股定理和“两点之间线段最短”加以解决。

如图3，AB=■，BC=2，CD=■，AD=5■，根据两点之间线段最短，得AB+BC+CD＞AD，所以，2+■+■＞5■。

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例4：求1+3+5+7+…+（2n-1）（n为正整数）的值。

简析：本题用纯代数的方法虽然可以解决，但在求和过程中，必须对n的奇偶性进行讨论，若将其转化成图形，利用图形的性质来说明数量关系事实就非常直观。

方法1：如图4-1，斜线左边的三角形小圆圈与斜线右边三角形的小圆圈共同组成一个平行四边形，平行四边形小圆圈共有n行，每行有［（2n-1）+1］个小圆圈，即2n个，所以平行四边形的小圆圈共（n×2n）个，即2n2个。所以1+3+5+7+…+（2n-1）=■=n2。

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方法2：如图4-2，构造正方形的小圆圈，因为组成正方形小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个。所以1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n2。

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4.巧用图像，实现数形转化

函数是刻画变量之间关系的常用的数学模型，函数关系式与函数图像是数和形最完美的结合，利用图像的直观性可以清楚地观察出函数的一些重要性质。

例5：函数y1=■与y2=x+1，（1）当x取何值时y1=y2；（2）当x取何值时y1＞y2；（3）当x取何值时y1＜y2。

简析：（1）要使y1=y2，即■=x+1，将这个方程化为x2+x-2=0，解得x1=-2，x2=1。所以当x=-2或1时，有y1=y2；

（2）要使y1＞y2，即■＞x+1，学生解这样的不等式是比较困难的，因为这里需要分两种情况即x＞0和x＜0进行讨论。如果我们利用函数的图像进行分析非常奏效，通过观察图像（如图5），便可以确定x的取值范围。由（1）得关于x的方程的根即为两个图像交点的横坐标，所以y1与y2的图像交点的横坐标分别为-2、1，所以当x＜-2或0＜x＜1时，y1＞y2；

（3）当-2＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。

二、几何问题代数化

1.几何问题方程化

方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，在平面几何问题中，有些问题可以通过引入未知量建立方程（组）加以解决。设出恰当的未知量找准等量关系是几何问题方程化的关键。建立等量关系通常要根据几何图形的性质及相关定理如勾股定理、相似三角形对应边成比例、面积公式、三角函数的定义等等。

例6：（09嘉兴）如图6-1，已知A，B是线段MN上两点，MN=4，MA=1，MB＞1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x，

（1）求x的取值范围；

（2）若ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：ABC的最大面积。

简析：（1）在ABC中，因为AC=1，AB=x，BC=3-x，所以解得1＜x＜2。

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，解得此方程无解；②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=■，满足1＜x＜2；③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=■，满足1＜x＜2。

所以x=■或x=■。

（3）在ABC中，作CDAB于D，设CD=h，ABC面积为S，则S=■xh。

①若点D在线段AB上（如图6-1），有■+■=x，

化简得x■=3x-4，x2h2=-8x2+24x-16

所以S2=■x2h2=-2x2+6x-4=-2（x-■）2+■，（■≤x＜2）

当x=■时，S2取最大值■，所以S取最大值■。

②若点D在线段MA上（如图6-2），可得S2=■x2h2=-2x2+6x-4=-2（x-■）2+■，（1＜x≤■）

此时S＜■。综合①②得，ABC的最大面积为■。

2.几何问题函数化

几何问题与函数思想相结合是各地中考的热点之一，几何问题中的质点运动、图形变换、最大（小）值等问题，往往与函数发生联系。巧妙地利用几何图形的性质建立函数关系式，进而用函数的性质解决问题。建立函数模型的关键是如何寻找解决对象与已知条件及变量之间的关系，实现数形转化。

例7：（09德州）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图7所示的自动通风设施。该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆。（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（3）请你探究EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由。

简析：（1）由题意，当ＭＮ和ＡＢ之间的距离为0.５米时（如图7-1），在EMN中，MN边上的高为0.5米，EMN的面积S=■×2×0.5=0.5平方米。

（2）①如图7-1，当MN在矩形区域滑动时，0＜x≤1，S=x平方米。

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②如图7-2，当ＭＮ在三角形区域滑动时，1＜x＜1+■，设EG交CD于F，交MN于H，易得MNG∽DCG，所以■=■，即MN=■所以EMN的面积S=■×■×x=■+（1+■）；

于是S=x，（0＜x≤1）-■x2+（1+■）x，

（３）①MN在矩形区域，S=x，0＜S≤1；

②MN在三角形区域，S=-■，

所以当x=■时，S最大值=■+■。因为■+■＞1，所以S的最大值是■+■平方米。

一位在国际比赛获奖的超级记忆专家在谈到他的记忆方法时这样说道，人们对于“形”的记忆能力是对“数”的记忆能力的五到六倍，把大量枯燥的数字和无任何规律的随机号码全部记下来的秘诀是，先把这些数字或号码变成一个个特殊的图形或生动形象的故事情节，也就是把它们变成“有形”的事物，回答时再转换成原来的数字或号码。可见，在数学教学中渗透数形转化思想，巧妙地利用它解决问题，这不仅对学习数学而且对我们的生活、工作都会带来很大帮助。