图像的薛定谔变换初探
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摘要： 介绍了图像的薛定谔变换的定义，并研究了图像的薛定谔变换性质在图像处理与分析的应用。在图像中多个目标的内部和外部区域，利用图像的薛定谔变换得到，实现多目标轮廓的自动提取，以及实现图像修描。最后用实验证明了该方法的有效性。
Abstract： The definition of Schrodinger transformation of the image was presented， and the application of Schrodinger transformation nature of the image in the image processing and analysis was studied. The inner and outer areas of the multiple targets in the image were gotten using Schrodinger transformation of the image， and automatic extraction of the multi-target contour as well as image retouching were realized. Finally， the experiments prove the effectiveness of this method.
关键词： 图像处理；薛定谔变换；参数影响
Key words： image processing；Schrodinger transform；parameters influence
中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）01-0167-02
0 引言
Mumford和Shah[1]第一次在目标轮廓提取中应用能量泛函，利用求能量泛函的最小值，将使复杂的图像分割问题转化为一个严格的数学问题，使数字图像处理有了深厚的理论基础。1987年Kass，Witkin以及Terzopoulos[2]提出了称为Snake的主动轮廓模型。该模型应用经典力学中粒子运动的最小作用原理实现目标轮廓提取，得到力的平衡式。Snake模型对于一系列应用广泛的视觉问题给出了一个统一的理论框架，这是该模型的一个最重要作用。
随着科学的发展及图像处理在很多领域越来越广泛的应用[3]，图像处理方法的研究成为当前的一大研究热点。本文作者主要研究量子力学在图像处理与分析中的应用。研究了图像的薛定谔变换的意义、性质以及在图像处理中的应用。并用实验验证了该方法的可行性。
1 薛定谔变换
由于粒子从一点运动到另一点的概率P（b，a），与粒子的载流子K（b，a）有关，于是定义梯度图像与载流子
K（b，a）之间的变换为图像的薛定谔变换，就可以确定粒子从一点运动到另一点的概率P（b，a），从而利用量子力学的实现图像目标轮廓提取。
粒子的载流子K（b，a）描述了粒子的运动规律。我们可以用路径积分的方法可计算出一些简单的拉氏函数的粒子的载流子K（b，a），但对于复杂的拉氏函数的粒子载流子的计算却是无计可施。如果将粒子的载流子K（b，a）用粒子在时刻t点x的波函数u（x，t）代替，则满足以下的薛定谔方程：
hi·■=-■■+■+V（x，t）u（x，t）（1）
其中，h=h/2π=1.054×10-27crg·s，h为planck常数。
牛顿定律描述了经典力学中物体的运动规律。粒子的载流子u（x，t）所满足的薛定谔方程来描述量子力学中粒子的运动规律。
利用初值问题将方程（1）可以改写为
i·u■+u=v（x）uu│■=φ（x）（2）
图像φ（x）在势v（x）下的薛定谔变换定义为初值问题（2）的解，当v（x）=0时称变换为I-型薛定谔变换，当v（x）≠0时称变换为II-型薛定谔变换。
2 实验
2.1 实验目标 本次设计需要研究正圆图像经过薛定谔变换之后产生的影响，并且大致得到薛定谔变换中参数的变化与对应图像变化之间的关系，最后根据得到的数据做一个线性拟合。
2.2 具体过程 薛定谔变换会使图像往四周扩散，但是由于薛定谔变换会保持图像的总能量不变，所以变换后的图像会适度的变暗，而扩散的范围大小跟所选取的参数值有关。我们所要做的就是找出扩散范围大小随着参数变化而变换的简单规律，并且尝试对此关系进行线性按拟合。
下面只讨论最简单的情形，即正圆图形的变换情况。
由于正圆比较特殊，对其做薛定谔变换之后的扩散范围可以通过变换前后半径的差值来近似代替。因为正圆做了薛定谔变换之后的边缘并非正圆，所以这里我们将每个边缘点到圆心的距离做了平均，来代替变换之后的半径。
为了计算原始图像的半径，首先必须知道原始图像的圆心以及边缘点的坐标，所以这里首先我们编写了求图像质心的函数，加上固有的检测边缘的函数，这个问题就解决了。
程序1．取图像重心函数[4]：
funciton y=GetGravityPoint（Im） %定义一个取重心坐标的函数
Edg=edge（Im）； %取图像边缘
[L，num]=bwlabel（Edge）； %标记图像中白色区域
s=regionprops（L，’Centroid）；
centroid=cat（L，s.Centroid）； %取图像重心
plot（centroid（：，1）， centroid（：，2），’b*’）； %标出图像重心
x0= centroid（：，1）；
y0= centroid（：，2）；
end
接下来要对图像进行薛定谔变换了，完成薛定谔变换之后，接下来要做的就是检测其边缘并且给出边缘点到圆心距离。为了完成边缘检测。首先要对变换后的图像进行二值化，这是需要设置一个门限值，使大于门限值的像素点变为白色，小于门限值的像素点变为黑色。然后对二值化以后的图像进行边缘检测，然后算出每个边缘点到圆习的距离，减去原始图像的半径，得到变化的距离，对其取平均值，得到平均的距离变化值。
程序2. 计算点与点之间的距离函数：
funciton y=ComputeDistance （Im，x0，y0）%定义一个函数
level =max（max（Im））*graythresh（Im）；
level =（min（min（Im））+level）/3； %设置门限
Im（find（Im>level））=255；
Im（find（Im
edge = edge（Im）； %取图像边缘
[xx，yy]=find（edge = =1）； %得到图像边缘的坐标
1=size（xx）；
length=1（1）；
bb（1： length，1）=xx；
bb（1： length，2）=yy；
distance=sqrt（（bb（1： length，1）-x0.^2+（bb1： length，2）-y0.^2）； %计算边缘点到重心的距离
max（distance）； %取所有距离中的最大值
min（distance）； %取所有距离中的最小值
y=distance；
end
最后取不同的参数得到不同的距离变化值，观察变换情况，并在适当情况下拟合结果。
程序3. 拟合函数
x=DeltaT；
y=averaged；
z=vard；
figure（1）；
subplot（221）；
plot（x，y，’r.’）
a=polyfit（x，y，1）%得到线性拟合系数
hold on
xlabel（‘DeltaT’）
ylable（‘aberaged’）
hold off
subplot（222）
plot（x，z，’r.’）
b=polyfit（x，z，1）%得到线性拟合系数
hold on
xlabeo（‘DeltaT’）
ylabel（‘vard’）
hold off
3 总结
主要研究了图像薛定谔变换参数对其的影响。选择正圆形图像作为研究对象，主要研究了薛定谔变换对图像产生的影响并且找出参数变化对其影响。利用图像的薛定谔变换得到图像中多个目标的内部和外部区域，实现多目标轮廓的自动提取；利用多次薛定谔变换实现图像修描。最后用实验证明了该方法是有效可行的。
本次研究还有如下几个方面的不足：
①这次只使用了性质最好的正圆形区域做的实验，对于一些比较复杂的图像还没有进行测试。
②我们只是考虑了图像边缘点到圆心的距离变化情况，没有考虑图像中所有点的情况，所以数据利用的不过充分，会导致误导偏大。
③进行拟合的时候只是去了10个点，可能会造成局部的误差，应该考虑更多不同的情况。而且在检测变换后图像的边缘时门限值的设置可以更加灵活一点。
对于这些不足，作者将在后面的研究中加以改进。
参考文献：
[1]D.Mumford and J.Shah. Boundary detection by minimizing functionals[J]. In： Proceeding of IEEE International Conference on Compoper Vision Pattern Recognintion. San Francisco，Calif， 1985.
[2]M. Kass， A. Witkin and D. Terzopoulos.Snake： active contour models[J]. International Journal of Computer Vision，1987， 1（1）：321-331.
[3]冈萨雷斯.数字图像处理[M].电子工业出版，2008.11，103～112.
[4]高会生等.Matlab原理与工程应用[M].电子工业出版，2006.
1，4～16.