《素数和合数》教学实录
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【名师档案】
陆丽萍，溧阳市外国语学校副校长。中学高级教师，江苏省数学特级教师，江苏省第二批人民教育家培养对象，江苏省优秀教育工作者，常州市中小学名教师工作室领衔人。出版专著（编著）2本，在国家级、省级刊物100多篇，先后应邀到青海、山西、福建、四川、河南、南京、苏州等省市上公开课、作讲座多次。
教学时间：2012年3月24日
教学场合：“三晋之春”全国名师小学数学教学观摩活动
教学地点：山西省小学教师培训中心大礼堂
教学班级：山西太原市兴华小学四（2）班
一、激活问题意识，唤醒探究欲望
1.创设问题情境
师：请大家尝试着从12个小正方形里拿出几个来，拼成一个大的长方形。
生：我拿出了12个小正方形，拼成的是6×2型的长方形。（见下图1）
师：还有谁是用了12个小正方形拼的？
生：我也拿出了12个小正方形，拼成的是12×1型的长方形。（见下图1）
生：我也是拿出了12个小正方形，拼成的是4×3型的长方形。（见下图1）
师：12个小正方形还能拼成其他形状的长方形吗？
生：不能，12个小正方形拼成长方形只有这三种。
师：其他同学又是用了几个小正方形拼的呢？
生：我拿出了8个小正方形拼成的长方形有两种，一种是4×2型，另一种是8×1型的长方形。（见下图2）
生：我拿出了7个小正方形，只能拼成一种，是7×1型的长方形。（见下图3）
生：我拿了11个小正方形，也只能拼成一种，是11×1型的长方形。
2.激活问题意识
师：我们同样都是拿了一些小正方形去拼长方形，为什么有的可以拼成几种不同的长方形？有的却只能拼成一种长方形？
生：拿的个数不同，拼成的长方形的个数就会不同。
师：怎么个不同？
生：我感觉拼成的长方形与拿出小正方形个数的因数有关。
生：对的，12它有1，2，3，4，6，12六个因数，能拼成3种；11只有1和11两个因数，只能拼成一种。
师：那我们就根据这些数的因数个数情况继续来研究。
二、引导探究发现，实现意义建构
1.观察比较，尝试分类
师：请先写出1～20各自然数的所有因数，再观察与思考。（学生填写下表）
师：我们可以看到，以上各个自然数的因数的个数都不尽相同，如果请你从一个数所含因数的个数来分类的话，你打算分为哪几种情况？
生1：我分了许多类，按照有几个因数就分为几类，于是就分成了只含有1个因数的为一类，只含有两个因数的分为一类，含有3个的分为一类，含有4个的分为一类……；
生2：我打算分为两类，只含有1个因数的分为一类，含有两个或两个以上的分为一类；
生3：我是分为三类，只有一个因数的1单独为一类，只含有两个因数的一类，含有3个或3个以上因数的分为一类。
师：刚才大家发表了各自的想法，请大家比较：以上三种不同的分类方法哪一种是比较合理的？为什么？
生：我觉得生1的方法有点欠妥，因为照这样，不知要分为多少类，这样就不简单了，分类就是要变得更简洁些。
生：我也觉得生1的方法不妥，我比较喜欢生3的分法。
生：生2的方法也是可以的，这样就把自然数分为两类。
生：我认为生3的方法更合理，简单把自然数分为1和其他自然数，其他里面的自然数太多了，没有分得更清楚些。
（大多数学生纷纷点头，认为生3的分法更合理。）
教师指出：古代的数学家也像我们同学一样，在经历了多次的分类尝试研究之后，决定将以上自然数分为三类。
2.引导发现，意义建构
师：请大家继续深入观察以上各类自然数的因数，你能发现什么？
生：像第二类2、3、5、7、11、13、17、19的这些数，它们的因数只有1和它本身两个因数。第三类数至少含有3个因数，有的有4个、有的有5个，有的更多。
生：我知道，像这类（指着第二类）数叫素数，第三类数叫合数。
师：对，我们把像第二类数，它们只有1和它本身两个因数的数叫做素数，也叫质数。而像4、6、8、9、10、12、14、15等的数，它们除了含有1和它本身两个因数之外，还含有其它的因数，我们把这类数叫做合数。
师：请大家从1～20中，自己任意选择一个数说一说它是素数还是合数。并说一说为什么？（学生举例说明）
生：老师，1到底是什么数？
师：你们认为呢？
生：1既不是素数也不是合数。
师：请大家讨论“1为什么既不是素数也不是合数？素数与合数有什么区别？”
生：1的因数就是它本身，只有一个因数，所以它既不是素数，也不是合数。
生：素数和合数的区别主要看因数的个数。
3.判断内化，变式强化
师：请独立判断下面这些数哪些是素数，哪些是合数？并说一说你判断的方法。
15 40 13 28 21 19 77 111
生1：我认为15、40、28、21、77、111都是合数，其余的是素数，我判断的方法是一个一个找出各数所有的因数。
生2：我同意他的结果，不过我是用能被2、3、5整除的数的特征来判断它们除了含有1和它本身外是否还有2、3或5。
师：（面对生2）请你举例说一说你的方法？
生：比如说，40除了1和40两个因数，它还有2、5，所以肯定不止两个因数，所以40就是合数。比如，111的因数，除了1和111两个外，至少还能被3整除，所以它也是合数。
师：（指着生1）你觉得唐诗杭的方法怎么样？
生1：唐诗杭的方法比我的更简单。
师：我们既可以用一一列举找出所有因数来判断，也可以用能被2、3或5整除的数的特征来巧判。
三、经历研究过程，感悟数学文化
1.创设问题冲突
师：你能很快独立判断下面各数哪些是素数，哪些是合数吗？
22 49 80 29 91 89 73
生：我认为22、49、80是合数，其余的是素数。
生：我觉得22、49、80、89是合数。
生：我看22、49、80、73是合数。
（此时，在判断91、89、73时会有学生有困难，一时很难有把握。）
师：看来，这些数到底是素数还是合数真有些难判断。别急，我们一起继续研究，有没有更好的办法呢？
2.感悟数学文化
师：（发给每个学生一张50以内的自然数表）请你独立想方设法快速寻找出50以内自然数的所有素数。（大概用时5分钟）
（教师故意鼓励学生想出方法来找，根据每个学生的思维水平和思考策略形成解决问题的差异，生成方法优化的资源，为下一步感悟数学文化价值的魅力做情感的渲染和智慧的启迪。）
生1：老师，我还没找完，我只找到了第二排，我是用一个一个地排除的方法去慢慢地找的。
生2：我是胡乱地找出一些，但好像没找全。
生3：我是划掉了2的所有倍数（2除外）。（图4）
生4：我不仅划掉了2的所有倍数，还划掉了5的所有倍数（2、5除外）。（图5）
生5：我补充，我比他们划得还要多，不仅要划掉2、5的倍数，我还将3的倍数全划掉了（2、5、3除外），剩下的数都是素数。（图6）
师：你们刚才都能充分发表自己的观点和想法，很好。学习就是需要交流，学习就是需要碰撞。你们觉得哪些同学的方法对你有启发？
生1（刚才的）：我觉得他们几个的方法比我想的更简便些。
师：是啊，我们在解决问题时可以根据具体情况灵活采用不同的方法去思考。你真会倾听，倾听是一种非常重要的学习品质。
生2（刚才的）：我的方法尽管简单些，但没有找全，狄煜（生5）找得比我全。
师：（呈现生5的数表，即图6）这些数都是素数，你们同意吗？如果同意，请你们将这些素数一个接一个报出来。
生（齐报）：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，
31，37，41，43，47
（当报到49时，有的学生举手有话要说。）
生：老师，我补充，49不是素数，它是7的倍数，七七四十九。
师：看来，我们要找出50以内所有的素数，先将1划掉，再将2、3、5、7的倍数划掉（2、3、5、7本身除外），剩下的数就是素数了。
（学生直点头表示同意）
3.思辨引发思考
师：学数学不光要知道怎么做，还要知道为什么这样做。那么大家有没有想过这样一个问题，为什么只要划掉2、3、5、7的倍数就能找全了呢？要不要划掉4、6的倍数，8、9的倍数要考虑吗？为什么？请独立思考一会儿。
生：不要再考虑4、6、8、9的倍数了。因为2的倍数已经把4的倍数全包括进去了，2、3的倍数同时也就是6的倍数。同样的，8、9也不要考虑了，都会重复的。
师：那么，还要不要考虑11的倍数？13呢，为什么？
生：不用，因为在50以内，11的倍数不超过5倍，2、3、4、5倍就已经是55了。13也是这个道理。
师：学数学就是要这样，想一想，还可能会是什么情况，再想办法验证、思考，将问题考虑得更全面、更深刻。
4.体验文明成果
师：照这样的方法，我们能制作一张100以内的质数表（呈现100以内的质数表，并向学生呈现2000多年前古希腊数学家“厄拉多塞尼筛法”的数学史料）。
师：你会再根据质数表迅速判断以下各数哪些是合数？
33 29 63 51 79 35 53
师：请大家选择合适的素数填写下面的空格，使等式成立。
4=（ ）+（ ） 5=（ ）+（ ）
6=（ ）+（ ） 7=（ ）+（ ）+（ ）
8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ）+（ ）
（学生判断、填空略）
师：（结合此题的练习）介绍了“哥德巴赫猜想”，以及陈景润感动中国的故事和所做出的杰出贡献。
四、拓展迁移综合，实践应用提升
1.拓展迁移
师：请独立完成表格（自然数1～20的表格）的填空与选择。并说一说：观察这张表格，你能发现哪些有趣的数学秘密？
生：我发现（表格中）奇数中只有9和15是合 数，其余的都是素数。
生：我发现偶数都是合数。
师：谁对他的回答有补充？
生：偶数除了2外，其余的都是合数。
生：最小的合数是4，最小的素数是2。
生：合数中有的是奇数，有的是偶数。
2.实践应用
师：接下来我们玩一个"猜电话号码"的游戏，老师办公室的电话号码是一个七位数ABCDEFG。其中：
A：10以内最大的质数（ ）
B：是偶数又是质数（ ）
C：小于10的最大的偶数（ ）
D：5的最小倍数（ ）
E：比最小的偶数小2的数（ ）
F：最小的合数（ ）
G：既不是素数，也不是合数（ ）
（学生饶有兴趣地猜出了电话号码）
3.质疑提升
师：马上要下课了，你对本节的学习内容还能提出哪些感兴趣的问题来研究？
生1：人类怎么想到要研究素数和合数的？
生2：学习素数和合数有什么用？
生3：有没有最大的素数？
……
（陆丽萍，溧阳市外国语学校，213300）