从火柴盒倒下到“总统证法”

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对于数学定理的证明，还没有哪一个能像勾股定理那样，能引起下至平民上至总统的浓厚兴趣. 勾股定理的证法据说达500种之多，有很多证明是通过几何图形的截、割、拼、补来实现的．近年来以勾股定理为背景，立足于考查操作能力的中考题越来越多．既然如此，那就让我们一起通过解析几道相关的中考题，在分割组合的操作中感知拼图与勾股定理的魅力吧．

例1（2004荆门）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图1，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.

解： RtABC≌RtAB′C′，

∠BAC＝∠B′AC′.

∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90

S梯形BCC'D'＝SABC+SC′AC+SD′AC′＝，

且S梯形BCC'D'＝(BC+C'D')・BD' =，

＝，a2+b2=c2.

点拨：从面积的角度分割图形,由S梯形BCC'D'＝SABC+SC′AC+SD′AC′,得到导出勾股定理的关系式.

例2（2007聊城）（1）如图2是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图3，RtABC≌RtCDE， 且 B、C、D三点共线．试证明 ；a2+b2=c2.

（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图3证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

解析:（1）显然这个公式为(a+b)2=a2+2ab+b2.

细心的读者会发现,本题的图2与上题的图形实质上是一回事,事实上,上面的中考题就是源自于这里.自然地,（2）（3）的证明方法与例1相同,这就是勾股定理的所谓“总统证法”.

例3（2004济南）如图4，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图5是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图4中的直角三角形有若干个，你能运用图4中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．

略解：（1）如图6所示，是直角梯形．

（2）S梯形＝(a+b)(a+b)=2S小Rt+S大Rt＝ab+ab+c2.

即a2+b2+c2.（3）此问的拼法很多，图7是其中的一种．

点拨：这又是一个似曾相识的问题.由此可见，中考试题虽然千变万化，但万变不离其宗，只要我们把握了有限的数与形的基本关系，就能从容地面对各种问题.拼图的结果不止一种,同学们正好借此扩展自己的思维空间.

“课”讲到这里就要结束了,按照上课的惯例,给同学们布置一道作业吧,望大家自觉完成,我可没办法给你们批改啊!

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”