实践操作型试题析解

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所谓的实践操作试题，就是让学生通过具体的操作或借助于计算机技术，来获得感性认识，建构数学知识，以达到动手、动脑能力的目的的一类数学问题，具有较强的实践性与思辨性. 解决实践操作试题一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动，利用自己已有的生活经验，感知与发现结论，从而解决问题.

下面举例说明.

例1 （浙江）现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图1（虚线表示折痕）.

除图1外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图3～5中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作. 如图1和图2是相同的操作）.

析解 要正确的解答本题，要先审请题意，明确题目的要求，本题应读懂操作与相同的操作的含义.

答案例举如下：

例2 我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形. 请按下面规则与程序操作：

第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；(图6)

第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；

以后每次都重复第二次的操作……

（1）请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；

（2）若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：

析解 要正确的解答本题，应明确怎样拼图，也就是明确拼图游戏的规则与程序.

解 （1）图略.

(2)2a2,4a2,8a2,…,2na2.

例3尝试：如图7，把一个等腰直角ABC沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A′BCD，如示意图7. （以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.）

（1）猜一猜：四边形A′BCD一定是________;

（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图7不同的四边形，并在图8中画出示意图.

探究:在等腰直角ABC中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.

(1)想一想：你能拼得的特殊四边形分别是______；（写出两种）

(2)画一画：请分别在图9、图10中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.

拓广:在等腰直角ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.

(1)变一变：你确定的裁剪线是______，（写出一种）拼得的特殊四边形是______；

(2)拼一拼：请在图11中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.

析解 尝试:(1)平行四边形；

(2)如图12所示.

探究:(1)平行四边形、矩形或者等腰梯形，（答其中两个即个）

(2)如图13～16所示. （画其中两个即可)

拓广:(1)裁剪线是：将斜边绕斜边中点旋转任意角度所得的直线；或者将平行于BC边（直角边）的中位线平移与AC交于点D，使AD∶DC=∶1的看线；或者将平行于AB边（斜边）的中位线平移与AC交于点D，使AD∶DC=∶1的直线.拼得的特殊四边形是直角梯形.

(2)如图17～19所示. （画其中一个即可）

例4 操作与探究：

（1）图20是一块直角三角形纸片. 将该三角形纸片按如图方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕. 试证明CBF为等腰三角形；

（2）再将图20中的CBE沿对称轴EF折叠（如图21）. 通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”. 你能将图22中的ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图22中画出折痕；

（3）请你在图23的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）. 请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形？

析解 （1）因为∠ECB=90°-∠DCE，∠B=90°-∠A，又由对称性知，∠A=∠DCE，所以∠ECB=∠B. 所以BCE是等腰三角形.

(2)如图24所示.

(3)如图25所示，答案不唯一，只要体现一条边与该边上的高相等即可.

(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形.

例5 操作：

在ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点. 图26～28是旋转三角板得到的图形中的3种情况.

研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图27加以证明.

(2)三角板绕点P旋转，PEB是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由.

(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB=1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图29加以证明。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。