用构造函数法证明不等式或求不等式中参量范围

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摘要：本文着重分析通过构造辅助函数，将证明不等式或求不等式中参量取值范围的问题转化为研究函数的单调性或者求函数的最值的问题，进而寻求解决问题的适合方法。

关键词：不等式的结构

【中图分类号】G423【文献标识码】 【文章编号】

如何根据不等式的结构特征构造一个容易研究单调性或最值的函数是解决此类问题的关键。

下面，结合几道近几年高考题中出现的此类不等式问题，谈两点构造辅助函数方法：

一、 移项

此类问题的特点是根据给出的未知数范围，证明不等式成立。若遇此类问题可将不等号一侧代数式移到另一侧，构成一个函数的解析式，然后通常利用函数单调性来解决问题。

例如：（2012.辽宁理.12）若，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

答案：C

解：设 ，令，所以 ，当时，，所以在内单调递增，所以，所以在内单调递增，所以，所以在内恒成立。

分析：移项构造辅助函数后，发现，所以只需要证明在给定区间内单调递增即可。这时想到通过判断在内的正负来求单调性。但在内的正负无法直接判定，不过再观察可以发现，所以只需求出在内，问题也就解决了。这时就能自然想到判断导函数在内的单调性了。通过对再求导，可以求出在内的单调递增。问题解决。

再如：（2012.辽宁理.21）设，曲线与直线在（0，0）点相切。

（Ⅰ）求的值。

（Ⅱ）证明：当时，。

解：（Ⅰ）由过点，得。由在点的切线斜率为，又，所以，得。

（Ⅱ）证明：由均值不等式，当时，，故。令，则

令，则当时，。因此在内是递减函数，又由，得，所以。因此在内是递减函数，又，得，于是当时，。

分析：第二问中移项构造辅助函数后，发现，所以只需证即可。若在内单调递减，则问题就解决了，所以只需在内求即可。此时只需在内证的分子即可，再构造函数，发现，对求导后不难证在内。问题解决。

总结：解此类问题的关键是移项构造辅助函数后求导，通常在给定区间的一个端点处函数值为0。进而想到通过求导判断函数的单调性，但是一次求导无法判断，不过却可发现在相同的端点处的导函数值也为0。所以需要对导函数（或以导函数为基础构造的函数）再求导，以此来判断导函数在给定区间的单调性及导函数值在给定区间与0的大小，进而判断原函数在给定区间的单调性及原函数值在给定区间与0的大小。

二、 提参

此类问题的特点是给出未知数范围及不等式，求不等式中参量的范围。若遇此类问题可将参量提出放在不等号的一侧，另一侧作为一个函数的解析式，进而求此函数的最值，问题即可解决。

例如：（2010.山东理.14）若对任意，恒成立，则的取值范围是

答案：

解：令（），则，由，解得，（舍），当时，，是增函数，当时，，是减函数，所以，所以。

分析：本题中的参量已经位于不等号的一侧，所以只需将不等号左侧的代数式作为一个函数的解析式，然后求导，进而求函数的最大值即可。此外，还可以用均值不等式求的最大值。

再如：（2012.全国理.20）设函数。

⑴讨论的单调性；

⑵设，求的取值范围。

（第二问）解：由，得。

当时，不等式成立；

当时，可得，

令（），所以过定点与动点（）的直线的斜率范围即为函数的取值范围，又点（）在函数（）的图象上，所以在内的最小值即为直线的斜率，如下图：

易求点，所以。

分析：本题若想提出参量，需先考虑是否为0，当为0时，对任意实数，不等式均成立。当不为0时，可以提出参量放在不等号左侧，将不等号右侧构造为一个辅助函数，并求其最小值。在求函数在内的最小值时，首先考虑求导，但是求导后，发现无法解决。所以转换思路，将的解析式变形，将问题变为求过定点与动点的直线的斜率的范围问题，进而发现动点在函数（）的图象上，然后画出函数的图象，数形结合，问题解决。

总结：解决此类问题时，提出参量时要注意未知数是否为0。在求构造的辅助函数的最值时，求导不一定是最佳选择，应视具体情况而定。

作者简介：关璐全（1978年出生），女（壮族）广西靖西县人，本科理学学士，广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学高中数学教师