一元二次方程的新风采(全文)

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创新型试题是近年中考命题者的“宠儿”. 现将涉及一元二次方程知识内容的创新型试题分类采撷两例,并加以归类解析,以展示各种题型所表现出的不同思考策略和解题方法,供读者学习鉴赏.

一、规律探究型

例1 (2009年滨州市中考试题)观察下列方程及其解的特征:

① x+=2的解为x=x=1;

② x+=的解为x=2,x=;

③ x+=的解为x=3,x=;

…………

解答下列问题:

(1)请猜想:方程x+=的解为;

(2)请猜想:关于x的方程x+=的解为x=a,x=(a≠0);

(3)下面以解方程x+=为例,验证(1)中猜想结论的正确性.

解析:先观察所给的三个方程与它的解:左边x+是关于未知数x与它的倒数的和,而两个解的和正好等于右边的常数,即是1+1=2,2+=,3+=. 至此,前面两个小题不难解答.

第(1)小题方程x+=的解为x=5,x=;第(2)小题关于x的方程x+=a+的解为x=a,x=(a≠0)――这也是这类方程的解的一般规律.

第(3)小题在以x+=为例,验证(1)中猜想结论的正确性的同时,重点是考查用配方法解一元二次方程. 具体解答过程如下:

二次项的系数化为1,得:x2-x=-1

配方,(两边同加一次项系数的一半的平方)得:x-x+()=-1+(),

即 (x-)=.

因此,x-=±,解得x=5,x=.

评注:求解规律探究型题采用“从特殊到一般”的策略. 即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数,得出一般规律,然后再利用其一般规律求解所要解决的问题.

二、方法迁移型

例2 (2009年广东省中考试题)小明用下面的方法求出方程2-3=0的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.

解析:从小明求方程2-3=0的解的过程我们学到解这类(二次根号内含有未知数)方程的方法:

第一步:设含有未知数的二次根式为新的未知数(元),得关于新元的方程;

第二步:解关于新元的方程;

第三步:根据算术平方根的值非负性,舍去负值;

第四步:将新元的值代入含有未知数的二次根式,最后求出原方程的解.

现在我们一起用上面归纳的方法来解另外两个方程.

(1)x+2-3=0.

令 =y,则x=y2,原方程化为y2+2y-3=0.

解新方程,得y=-3,y=1.

因为=y≥0,所以y=-3舍去,取y=1.

即=1,所以x=1,经检验x=1是原方程的根.

(2)x+-4=0,

令 =y,则x-2=y2,原方程化为y2+y-2=0,

解新方程,得y=-2,y=1.

因为y=≥0,所以y=-2舍去,取y=1,

即=1,解得x=3,经检验x=3是原方程的根.

(相信同学们能准确地填写题中的表格)

评注:根号内含有未知数的方程叫无理方程. 此题实质上是教同学们用换元法解二次根号内含有未知数的无理方程. 求解这类方程一定要对换元后方程的解进行取舍.

一元二次方程的新风采