高等数学在经济管理中的简单应用
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［摘要］本文通过实例介绍了高等数学在经济管理中的几个常见应用，使抽象的数学概念具体化，便于学生对相关专业知识的理解和掌握。
［关键词］边际函数弹性经济函数
［中图分类号］O13［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2013）08-0056-02
在经济管理中，数学知识是必不可少的，本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。
一、连续复利――e在经济中的应用
利息是银行对储蓄（或借贷）所支付（或收取）的除本金以外的货币。银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示
单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金
（一）单利
设本金为A0（可指投资,存款等），年利率是i，所谓单利是指仅按本金A0计算利息。例如：A0的投资时间为t年，那么七年后,可得单利:I=A0it
本利和是A=A0+I=A0（1+it）
例如：1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利
I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）
（二）复利
所谓复利是指经过一年时间，将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。
假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此时本金就成了
A0+A0i=A0（1+i）
再经过一年又得复利iA0（1+i）
本金成了A0（1+i）2,
依次类推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t
例如：将1000元投资5年，年利率6%，按年计算复利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。
设年利率为i，如果一年计算m次复利，那么t年后就计算mt次，每次的利率算作■。设本金为A0元，年利率为i，每年计算复利m次，那么t年后本金为A（t）=A0（1+■）mt。
例如：将1000元投资5年，年利率6%，每年计算复利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。
（三）连续复利
A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit
这种计利方法称为连续复利。
连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用，如：细胞分裂、树木的生长等。
（一）边际概念
在经济学中边际表示的是变化率，函数的导数称为边际函数。
如：成本函数C（x）的导数C′（x）称为边际成本函数。
边际成本具有怎样的经济意义？
当产量由原产量x单位增加一个单位（Δx=1）时，成本C（x）的真值为C（x+1）-C（x），但当产量的单位很小或一个单位与原产量x值相比很小时，则由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小时）
取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）
这表明当产量达到x时，再增加生产一个单位，成本的增加值就可以用边际成本C′（x）近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。
在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本C′（x）解释为：
当产量达到x时，再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1个产品所需的成本。
例如：设生产x件某产品的成本为C（x）＝200+0.03x2
生产100件的总成本为C（100）=200+0.03×（100）2=500
每件产品的平均成本是■=■=5
边际成本函数为C′（x）=0.06x
产量在100件时的边际成本为C′（x）=0.06×100=6
它近似表示生产第101产品的成本。这件产品的真值是
ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03
除边际成本函数外，收入函数的导数称为边际收入函数；利润函数的导数称为边际利润函数；需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。
（二）弹性概念
经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。
例如：需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数x=f（p），其中x需求量，p是价格，η=p■
由于Δp很小时，η=p■≈■■所以需求弹性近似表示在价格为p时，价格变动1％，需求量将变化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般来说，需求函数是一个减函数，需求量随价格的提高而减少，因此需求弹性一般是负值，它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度，即灵敏度。
对任何函数都可以建立弹性，一般地，函数y=f（x）在点x处的弹性定义
为η=x■
它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。
通常表示为：εyx=■=■■
例如：某种产品的需求量x与价格p的关系为x（p）=1600（■）p，
（1）求需求弹性η（p）;（2）当商品的价格p=10元时，再增加1％，求该商品需求量变化情况。
解:需求弹性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p
需求弹性为负，说明商品价格p增加1％时，商品需求量将减少1.39p%
当商品价格p=10元时 η（10）≈-13.9
这表示价格p＝10元时，再增加1％，商品的需求量将增加13.9p%，如价格降低1％，商品的需求量将增加13.9p%。
三、积分在经济问题中的应用
例：已知某商品每天生产x单位时，边际成本为C′（x）=0.4x+2（元／单位），其固定成本是20元，求总成本函数C（x）。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位，总利润最大？
解可变成本就是边际成本函数在［0，x］上的定积分，又已知固定成本为20元，所以总成本函数C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20
当销售单价为18元时，总利润函数为
L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40
又因为L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生产40单位可获最大利润，最大利润为L（40）=300（元）。
高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举：如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等等；化学中有扩散速度、反应速度，溶液连续稀释问题等；生物学中有（种群）出生率、死亡率、自然生长率等等；社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等，几何学中曲线的切线问题，曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。
［参考文献］
［1］杨洁.高等数学［M］.北京：人民卫生出版社，2012.
［2］刘桂茹，孙永华.经济数学［M］.天津：南开大学出版社，2003.