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高等数学在经济管理中的简单应用

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[摘要]本文通过实例介绍了高等数学经济管理中的几个常见应用,使抽象的数学概念具体化,便于学生对相关专业知识的理解和掌握。

[关键词]边际函数弹性经济函数

[中图分类号]O13[文献标识码]A[文章编号]2095-3437(2013)08-0056-02

在经济管理中,数学知识是必不可少的,本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。

一、连续复利――e在经济中的应用

利息是银行对储蓄(或借贷)所支付(或收取)的除本金以外的货币。银行支付(或收取)利息的多少,以利率的高低来表示

单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金

(一)单利

设本金为A0(可指投资,存款等),年利率是i,所谓单利是指仅按本金A0计算利息。例如:A0的投资时间为t年,那么七年后,可得单利:I=A0it

本利和是A=A0+I=A0(1+it)

例如:1000元投资5年,年利率6%,于是5年后共得单利

I=1000×0.06=300(元),A=1000+300=1300(元)

(二)复利

所谓复利是指经过一年时间,将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。

假定本金是A0元,那么一年后的利息是A0i,此时本金就成了

A0+A0i=A0(1+i)

再经过一年又得复利iA0(1+i)

本金成了A0(1+i)2,

依次类推,t年后本金A(t)就成了A(t)=A0(1+i)t

例如:将1000元投资5年,年利率6%,按年计算复利,那么5年后本金就A(5)=1000(1+0.06)5=1338.23(元),利息是338.23元。

设年利率为i,如果一年计算m次复利,那么t年后就计算mt次,每次的利率算作■。设本金为A0元,年利率为i,每年计算复利m次,那么t年后本金为A(t)=A0(1+■)mt。

例如:将1000元投资5年,年利率6%,每年计算复利4次,那么5年后本金就成了A(5)=1000(1+■)5×4=1346.86(元),利息是346.86元。

(三)连续复利

A(t)=■A0(1+■)mt=A0■[(1+■)■]it=A0eit

这种计利方法称为连续复利。

连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用,如:细胞分裂、树木的生长等。

二、边际与弹性――导数与微分的简单应用

(一)边际概念

在经济学中边际表示的是变化率,函数的导数称为边际函数。

如:成本函数C(x)的导数C′(x)称为边际成本函数。

边际成本具有怎样的经济意义?

当产量由原产量x单位增加一个单位(Δx=1)时,成本C(x)的真值为C(x+1)-C(x),但当产量的单位很小或一个单位与原产量x值相比很小时,则由近似式■=■≈C′(x)(|Δx|很小时)

取Δx=1,得C(x+1)-C(x)≈C′(x)

这表明当产量达到x时,再增加生产一个单位,成本的增加值就可以用边际成本C′(x)近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。

在经济学中,通常略去“近似”二字,将边际成本C′(x)解释为:

当产量达到x时,再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1个产品所需的成本。

例如:设生产x件某产品的成本为C(x)=200+0.03x2

生产100件的总成本为C(100)=200+0.03×(100)2=500

每件产品的平均成本是■=■=5

边际成本函数为C′(x)=0.06x

产量在100件时的边际成本为C′(x)=0.06×100=6

它近似表示生产第101产品的成本。这件产品的真值是

ΔC=C(100+1)-C(100)=6.03

除边际成本函数外,收入函数的导数称为边际收入函数;利润函数的导数称为边际利润函数;需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。

(二)弹性概念

经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。

例如:需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数x=f(p),其中x需求量,p是价格,η=p■

由于Δp很小时,η=p■≈■■所以需求弹性近似表示在价格为p时,价格变动1%,需求量将变化|η|%,通常也略去“近似”二字.一般来说,需求函数是一个减函数,需求量随价格的提高而减少,因此需求弹性一般是负值,它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度,即灵敏度。

对任何函数都可以建立弹性,一般地,函数y=f(x)在点x处的弹性定义

为η=x■

它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。

通常表示为:εyx=■=■■

例如:某种产品的需求量x与价格p的关系为x(p)=1600(■)p,

(1)求需求弹性η(p);(2)当商品的价格p=10元时,再增加1%,求该商品需求量变化情况。

解:需求弹性η(p)=p■=p×ln■=(-2ln2)≈-1.39p

需求弹性为负,说明商品价格p增加1%时,商品需求量将减少1.39p%

当商品价格p=10元时 η(10)≈-13.9

这表示价格p=10元时,再增加1%,商品的需求量将增加13.9p%,如价格降低1%,商品的需求量将增加13.9p%。

三、积分在经济问题中的应用

例:已知某商品每天生产x单位时,边际成本为C′(x)=0.4x+2(元/单位),其固定成本是20元,求总成本函数C(x)。如果这种商品规定的销售单价为18元,且产品可以全部售出,求总利润函数L(x),并问每天生产多少单位,总利润最大?

解可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分,又已知固定成本为20元,所以总成本函数C(x)=■(0.4t+2)dt+20=0.2x2+2x+20

当销售单价为18元时,总利润函数为

L(x)=R(x)-C(x)=-0.2x2+1.6x-20

由L′(x)=-0.4x+16=0,得x=40

又因为L″(x)=-0.4<0,所以,每天生产40单位可获最大利润,最大利润为L(40)=300(元)。

高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举:如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等等;化学中有扩散速度、反应速度,溶液连续稀释问题等;生物学中有(种群)出生率、死亡率、自然生长率等等;社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等,几何学中曲线的切线问题,曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。

[参考文献]

[1]杨洁.高等数学[M].北京:人民卫生出版社,2012.

[2]刘桂茹,孙永华.经济数学[M].天津:南开大学出版社,2003.