力的三角形法创新应用

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当物体受三个力作用而处于平衡状态时，表示这三个力的矢量恰好能构成首尾相接的三角形.在定性判定某个力的变化趋势，或定量求解某个力的极值时就经常会用到力的三角形法.这种判断方法比用平衡方程作定量分析更直观、更方便、更快捷.因此力的三角形法在解决三力平衡问题中应用广泛.但是遇到三个以上力的平衡问题时，力的三角形法就无能为力了.笔者在实际教学中发现其实可以将其中的某两个力或多个力等效成一个力，将多力平衡问题转化为三力平衡问题，再用力的三角形法，这样可以达到出奇制胜的效果.

一、合力大小恒定的二力等效构建三角形

例1 如图1所示，人站在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸过程中，下列说法正确的是（ ）

(A) 绳的拉力不断增大

(B) 绳的拉力保持不变

(C) 船受到的浮力保持不变

(D) 船受到的浮力不断减小

分析：对小船受力分析，小船受四个力的作用：拉力F、重力G、阻力F阻和浮力F浮，如图2所示.常规的解法就是用正交分解法列平衡方程求解，过程比较繁琐.现在用一种新的解法，由题设条件可知小船受到的重力G和阻力F阻大小和方向都保持不变，所以这两个力的合力大小恒定，可以将这两个力等效为一个力R，这时小船就受力为等效力R、拉力F和浮力F浮三个力，这样就巧妙把四力平衡问题转化为三力平衡问题，构建力的三角形如图3所示.当船匀速靠岸的过程中等效力R大小和方向都不变、浮力F浮的方向不变，拉力F和等效力R的夹角θ变小，三力仍构成一个三角形，如虚线所标，很容易得出拉力F变大，浮力F浮变小，正确选项为(A)(D).

二、合力方向恒定的二力等效构建三角形

例2 质量为M的物块，在卷扬机的带动下沿动摩擦因数为μ的水平面匀速运动，卷扬机牵引力与水平方向的夹角为α如图4所示.求牵引角α为多大时牵引力F最小？最小牵引力为多大？

分析：首先对物块进行受力分析，物块小车共受到四个力：重力Mg、支持力FN、牵引力F和摩擦力Ff，常规的做法就是正交角分解法列出平衡方程，再用数学三角函数求解极值，得出答案，这样做计算量大，过程繁琐.现在用一种新的解法，将支持力FN和摩擦力Ff先合成为

地面对物块的等效力R，虽然R的大小未知，但是因为

Ff=μFN，有Ff FN=μ，如图5所示，设等效力R与竖直方向的夹角为θ，则

tanθ=Ff FN=μ,

θ=arctanμ，所以当物块匀速运动时无论等效力R大小如何，它与竖直方向的夹角θ总为定值.等效后物块受力为重力Mg、等效力R和牵引力F，这样就巧妙把四力平衡问题转化为三力平衡问题.等效后构建力的三角形如图6所示，从力的三角形可明显看出：当α逐渐增大时，重力Mg的大小和方向不变，等效力R的方向不变，很明显牵引力F先减小后增大，当牵引力F与合力R垂直时，即当牵引力与水平方向夹角α等于θ时，牵引力F取最小值Fmin，所以牵引角

α=θ=arctanμ时牵引力F最小，最小牵引力

Fmin=Mgsinθ

根据三角函数关系

sinθ=tanθ

1+tan2θ

=μ 1+μ2

所以最小牵引力：

Fmin

=Mgsinθ=Mgμ 1+μ2.

由此可见，通过等效力的方法可以将力的三角形法运用到多力平衡的问题中去，可以定性分析力的变化，定量求解某个力的极值， 而且这样做比平衡方程分析计算更快捷更高效，通过以上创新应用使力的三角形法焕发出了新的生机和活力.