由一次听课引起的反思

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一次校内随堂听课，引起了我的反思，现写出来与同行们共同探讨，希不吝赐教.

一、教学片段

问题:如图，A,B,C分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的顶点，P为椭圆上异于A,C的一点，若线段AP的垂直平分线过B点，椭圆离心率的范围是.

教师讲评,并在黑板上板演如下过程：

解：设点P(x1,y1)，线段AP的中点为x1-a2,y12，

线段AP的斜率为k1=y1x1+a,

所以线段AP的垂直平分线为y-y12=-x1+ay1・x-x1-a2,

又因为线段AP的垂直平分线过点B，所以b-y12=-x1+ay10-x1-a2，

即2by1-y21=x21-a2.①

又因为P在椭圆上，且x21a2+y21b2=1，则

x21=a2(1-y21b2).②

联立①②可得y1=-2b3c2.

又因为0＜｜y1｜≤b可得2b2≤c2，即2a2≤3c2，所以e≥63，故椭圆离心率的范围为63,1.

正当教师准备讲下一题时，有一个女学生站起来说：“老师，由a2+b2≥2b也可求出63≤e＜1.”（有几个学生附和着）

教师：有什么解题依据？

学生：没什么依据，只是感觉线段PB应该比短轴2b要长.（学生哄堂大笑）

（简单思考后）教师：这种解法没有依据，只是答案巧合而已.

接着，教师继续讲解下面的题目，我看到几个学生还想争辩什么，看看老师，继而脸上露出失望、迷茫的表情.

二、学生解法的探究

学生的解法真的没有依据？真的是巧合吗？线段PB真会比短轴2b要长吗？下面我们对学生的解法进行探究.

解：设P(x1,y1)(y1≠0)，

PB=x21+(y1-b)2=

-c2b2y21-2by1+a2+b2=

-c2b2(y1+b3c2)2+a2+b2-b4c2

，

又因为-b＜y1≤b且y1≠0，所以：

①若-b3c2≤-b时，即0＜e≤22.当y1=-b时，(PB)max=2b，则PB≤2b成立.

②若-b3c2＞-b时，即22＜e＜1.当y1=-b3c2时，(PB)max=a2+b2+b4c2.

(PB)max=2b（0＜e≤22）；

a2+b2+b4c2(22＜e＜1).

记f(y1)=-c2b2(y1+b3c2)2+a2+b2-b4c2，

当y1∈(-b,-b3c2)时，f(y1)逐渐增大；当y1∈(-b3c2,b)（y1≠0）时，f(y1)逐渐减小；要使存在异于A、C的点P，使得PA=PB，即f(y1)=f(0)=a2+b2，则必有a2+b2≥f(-b)=2b，

从而解得：63≤e＜1.

由上述解题过程我们还能探究：椭圆上的动点P到椭圆的上顶点B的距离何时最大.

三、教学反思

第一，虽然高三课堂时间很紧，但教师在课堂上也不能为了完成教学任务而演“教案剧”.教师备课时应尽量多一些思考与准备，舍得花时间把问题讲透彻，只有这样，学生才能真正弄懂问题，从而提高课堂学习效率.

第二，教师的教学要充分利用学生这一重要的资源.教师自己即使真的没有找到好的方法（本例中教师提供的解法比较烦琐），也可以问计于学生（有些学生的解法会优于教师，由于篇幅有限，就不一一列举了），充分调动学生，使我们的课堂讲得更透彻，学生乐听、愿听，大大提高学生的积极性.

第三，教师在课堂上的教态要平和，当学生提出疑问时，应该给予学生及时的、必要的帮助，切不可敷衍了事，影响学生的学习积极性.学生若提出教师事先没有准备到的问题，可以先让学生表达自己的观点后，教师再作出恰当评价；学生若提出错误的解决方案时，教师不应嘲笑，同时制止其他同学嘲笑，还要认真地指出学生错误之处；学生若一时难以明白的，可留到课后再耐心讲解；学生若提出教师一时不知对错的方案时，教师不应该立即否定，不妨这样讲：“这种方法老师也没有看明白，是个新角度，不妨试一试，以后找个时间解决它吧.”这样，既保护了学生的创新思维，又调动了学生自主探究的积极性.