橄榄数及其性质

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“数学兴趣小组”组长小明宣布这次活动的主题是“橄榄数及其性质”。

小芳心直口快，抢先发问：“什么是橄榄数?难道它像一只橄榄?!”

小明干脆地回答：“不错!你看，12345678987654321，它的各数位上的数字从左到右逐渐增大(由1到9的连续自然数)，到数9时，又逐渐减小(由9至1)，这个数两头小中间大，它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数。请大家写出其他的橄榄数。”

同学们陆续写出其他7个橄榄数如下：121，12321，1234321，123454321，12345654321，1234567654321，123456787654321。

“橄榄数有什么性质呢?”小娜也提出了问题。

小娜话音刚落，性急的小婷便急忙说道 “老师要我们熟记20以下自然数的平方数，这下让我用上了!大家都知道，112=121。也即121=112，我大胆猜想，12321=1112，可如何证明呢?

一声不响的小严突然抢着说：“这个证明不难!用计算器计算是一种方法，另一种方法则别开生面、妙趣横生。因为1=1，2=1+1，3=1+1+1，所以12321可以分成右图中三项的和。这个式子是111×111竖式计算的一部分，所以12321=1112。仿此类推，所有的橄榄数都是完全平方数。我们可以先弄清这两个橄榄数的规律，再把其他的橄榄数也写成完全平方数。”

小刚也抢着说：“第一个等式121=112，我发现左边橄榄数121中间的那个数是2。右边二次幂中底数1的个数也是2，……”

未等小刚说完，小娜也抢着说：“第二个等式12321=1112，左边橄榄数12321中间的那个数是3，右边二次幂中底数1的个数也是3。”

“能否把这个规律一般化呢？”心直口快的小芳又提出了问题。

“可以！”组长小明说，“橄榄数中间的那个数与和它相等的二次幂中底数1的个数相等。”接着他在黑板上把这个规律写出：

小亮是本班的“数学通”，至今他一言未发，大家深感意外，请他谈谈见解。小亮说：“大家发现橄榄数是完全平方数，这很好，但不应当就此罢手。事实上，橄榄数是一种特殊的回文数(回文数的特征是：不论是从左到右顺读，还是从右到左倒读，结果都一样，如22，383，5445，12321)。它们的关系是：橄榄数一定是回文数，而回文数不一定是橄榄数，橄榄数家族是回文数大家族中的‘小’家族。此外，橄榄数左右对称，这很明显，但应注意它的变形也具有对称性。”接着他写出三个对称式如下：

最后，组长小明要求大家写出其他的对称式，并验证它是否成立。同学们，现在是你施展才华、露一手的时候了！