综合运用型问题
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试题特征分析
综合运用型问题是初中数学中知识覆盖面最广、综合性最强的题型.近几年的中考压轴题多以此类问题的形式出现.解决此类问题时所涉及的知识面较广，对同学们的综合能力要求较高.
解题方法指导
解综合运用型问题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤.解综合运用型问题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解综合运用型问题中所隐含的重要的数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合运用型问题的关键.
热点问题解析
一、 代数类型的综合运用型问题
例1 （2012·黑龙江）为了迎接“五·一”长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装. 甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元.
（1） 若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32 400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？
（2） 该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价-进价）不少于26 700元， 且不超过26 800元，则该专卖店有几种进货方案？
（3） 在（2）的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0
【分析】本题需找准题中所提供的各种等量关系、不等关系，利用方程（组）、函数、不等式的有关知识进行综合分析，并结合数学的分类思想进行解答.
【解析】（1） 设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200-x）件，根据题意得：180x+150（200-x）=32 400，解出x的值，即可知问题答案；
（2） 设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200-y）件，根据题意得：
（320-180）y+（280-150）（200-y）≥26 700，（320-180）y+（280-150）（200-y）≤26 800.解出y的整数解即可知有11种方案；
（3） 设总利润为W元，W=（140-a）y+130（200-y），即W=（10-a）y+26 000.
① 当00，W随y增大而增大，当y=80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；
② 当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
③ 当10
【点评】本题解题中的关键在于正确利用y表示出利润，而结合分类思想进行讨论则是解该题特别要注意的问题. 本题的设计意图在于考查同学们对一次函数、方程（组）、一元一次不等式组的应用，以及分类思想.
变式问题
（2012·辽宁朝阳）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元.已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现.销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：
设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）.
（1） 请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2） 求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？
（3） 若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【参考答案】（1） w=-2x+240；（2） 当x=85时，y的值最大为2 450元；（3） 当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元.
二、 几何类型的综合运用型问题
（2） 当α=30°时，求线段BE的长；
（3） 若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是_______.（直接写出答案）
【分析】本题需要巧妙利用图中所提供的条件，来寻找角之间的等量关系，从而得出相似三角形，利用相似三角形的性质解决相关问题，同时还必须用运动的眼光，以及借助特殊位置来帮助分析问题.
（3） 借助于特殊位置点D、B、C在一条直线上，则易联想到60°
【点评】本题解题过程中的关键之处在于巧妙利用直角来寻找相等的角，从而利用相似解决问题，注意点是要善于利用特殊位置帮助分析问题.本题的设计意图在于考查圆的有关知识和相似知识的应用能力，以及对图形变化的想象和分析能力.
变式问题
（2012·辽宁大连）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.
（1） ∠BEF=_____（用含α的代数式表示）；
（2） 当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；