活用“一静一动”弹性碰撞速度公式

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位于光滑水平面上的两个弹性小球，质量分别是m1和m2，速度分别是v1和v2，其中v1≠0,v2=0。若两球发生完全弹性碰撞，根据机械守恒定律和动量守恒定律可导出两球碰撞后的速度v′1和v′2的大小分别是：

v′1=m1-m2m1+m2v1①

v′2=2m1m1+m2v1②

笔者拟以公式①②为基础，导出两球速度均不为零时；发生完全弹性碰撞后的速度公式，并通过典型的例题分析说明它们的具体应用。

1 光滑水平面上的两小球速度方向相反，发生完全弹性碰撞。

如图1，两球质量分别是m1和m2，碰撞前速度分别是v1和v2，且v1≠0,v2≠0，求碰撞后的速度v′1和v′2。

分析与解 以质量为m2的小球为参照物，并取v1的方向为正方向，m1相对于m2的速度大小v12=v1-(-v2)=v1+v2

由公式①、②可得到以m2为参照物的碰后速度公式：

v′12=m1-m2m1+m2(v1+v2)③

v′22=2m1m1+m2(v1+v2)④

再以大地为参照物，则两球碰撞后的速度v′1和v′2分别为：

v′1=v′12-v2=m1-m2m1+m2(v1+v2)-v2⑤

v′2=v′22-v2=2m1m1+m2(v1+v2)-v2⑥

2 光滑水平面上两球的速度方向相同，发生完全弹性碰撞。

如图2，设两球质量分别是m1和m2，速度大小分别是v1和v2，且v1≠0,v2≠0，v1>v2，求两球碰撞后的速度v′1和v′2

分析与解 以质量为m2的小球为参照物，m1相对于m2的速度v12=v1-v2。

由公式①、②可得到以m2为参照物的碰后速度公式：

v12=m1-m2m1+m2(v1-v2)⑦

v22=2m1m1+m2(v1-v2)⑧

再以大地为参照物，则两球碰后的速度v′1和v′2大小分别为：

v′1=v′12+v2=m1-m2m1+m2(v1-v2)+v2⑨

v′2=v′22+v2=2m1m1+m2(v1-v2)+v2⑩

3 例题分析

如图（3）所示，一轻弹簧直立在水平地面上，其下端固定，上端连一质量为M的钢板，处于静止状态，现有一质量为m的小球，从距钢板5米高处自由落下，并与钢板发生碰撞，碰撞时间极短且无机械能损失，已知M=3m，不计空气阻力，取g=10m/s2。

（1）求小球与钢板第一次碰撞后的瞬间小球的速度v1和v2。

（2）如果钢板做简谐运动的周期为2s，求小球第二次与钢板碰撞后小球的速度v′1和钢板的速度v′2。

分析与解 ①小球自由下落与钢板碰撞前的速度v0=2gh=2×10×5=10(m/s)由前述公式①、②可得小球与钢板碰后的速度：

v1=m1-m2m1+m2v0=m-3mm+3m×10

=-5(m/s)

v2=2m1m1+m2v0=2m4m×10

=5(m/s)

②根据运动学规律可推知，小球与钢板第二次碰撞的位置在钢板的平衡位置处，碰前钢板的速度大小为5m/s，方向竖直向上；小球的速度大小为5m/s，方向竖直向下，两个物体的速度均不为零。

根据前述公式⑤、⑥可得，第二次碰撞后，小球的速度

v′1=m1-m2m1+m2(v1+v2)-v2

=-10m/s

钢板的速度

v′2=2m1m1+m2(v1+v2)-v2

=0。

即碰后，小球反向运动，其速度大小为10m/s,钢板的速度变为零。

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