让“估算”带给“经验”成长的力量

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杜威认为：“一盎司经验胜过一吨理论。”“积累基本数学活动经验”是基于“动态的数学观”，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感、富有思考的经历体验和探索活动。积累数学基本活动经验更关注过程的教学，“经历过程”不仅仅是让学生经历知识产生的过程、知识的呈现方式，而且更是指探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等，从而积累观察、操作、猜想、归纳推广等活动经验。

估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。

案例：图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。如图：

解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来。用此方法估计不规则图形的面积是我们常用的方法。但是这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。从而充分体现该题的数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考“你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？” 教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。

教师继续追问：“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。

同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？

“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。 特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。

估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。《数学课程标准》明确提出了估算的学段目标：

第一学段：能结合具体情景进行估算，并解释估算的过程。

第二学段：在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。

美国《学校数学课程与评价标准》中对估算问题也有论述，我们来看一下这个结构图：

问题情境需要计算近似答案估算

精确答案 心算、笔算、机算（但最后也要用估算进行计算结果合理性的检验）

从图中可以看出估算的重要地位。利用估算能力，学生不但可以节约认知步骤，提高问题解决的效率，还可以帮助学生探索问题的解决策略、估计结果的合理性与正确性、形成恰当的认知决策，因此在日常生活中使用较为频繁，具有很强的实用性和广泛性。

针对本案例，结合本单元面积计算，学生难理解的问题，我抓住以下二条主线进行了课堂实施：

主线一：培养学生估算的意识和策略

计算不规则图形的面积，只要得到一个近似值即可，因此教师注意适时提出估算的要求，引导学生主动地估算，同时学生交流估算的方法时创造性地提出了找参照物类比、利用面积单位去估计，看成规则的图形去估计等有效的方法，估算的策略得到了发展。而且每个小组在完成任务后，尽可能组织全班性的交流，一方面可以扩大学生认识不规则图形的视野，另一方面则能从各组不同的估计中，从多个角度理解不同的估计方法。（预测策略、整策略、优化策略。这三种策略不是孤立存在的，而是互相联系在一起的。）

主线二：有效渗透数学思想方法

让学生自主解决问题，展示解决问题的过程，其中有效地渗透了数学思想方法。计算三角形的面积，学生提出“分割、拼合”的方法把图形“转化”成已学过的图形；计算不规则图形的面积，学生提出化曲为直、分类计数的方法；有的学生发现了图形的对称性，利用了对称特点简化计算过程。正因为融入了数学思想方法，整个教学过程充满了浓厚的数学情趣，学生在活动中思维得到磨砺，解决问题的方法逐步优化，学习的经验得到充实，成功、自信的体验得到强化。

总之，在小学阶段重视学生的估算能力培养，是学生学习的需要，适应实际生活的需要，也是训练学生思维和发展智力的需要。 让“估算”带给“经验”成长的力量。