圆的开放探索型问题例

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇圆的开放探索型问题例范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

近年来，圆的开放探索型问题已成为中考的热点，为帮助同学们掌握这类题的解法，本文就2006年圆的开放探索型问题进行分类解析。

一、条件开放型

条件开放，是指问题没有确定的已知条件或已知条件不充分，解决这类问题的基本思路是：从结论入手，逐步探求使结论成立的条件。

例1 (湖北省武汉市中考题)如图，ABC内接于O，要使过点A的直线EF与O相切于点A，则图中的角应满足的条件是_______(只填一个即可)，

分析与解本例是条件开放型问题，要使过点A的直线EF与O相切于点A，只需图中的角满足∠B＝∠CAF(或∠BCA＝∠BAE)，这是因为，当∠B＝∠CAF(或∠BCA＝∠BAE)时，可证OAEF，由圆的切线的判定定理可得，EF与O相切，证明OA_LEF的过程如下：连OA、OC，过O作ODAC，垂足为D，交O于Ⅳ，则由垂径定理可得AH＝HC＝1/24c，从而B＝∠AOD，因为∠AOD＋∠OAD＝90°，所以∠B＋∠OAD＝90°，若∠B＝∠CAF，则∠CAF＋∠OAD＝90°，因此直线EF是O的切线，当∠BCA＝∠BAE时，可用同法证明，请读者自己完成，

二、结论开放型

结论开放，是指问题的结论不确定或答案不唯一，解决这类问题的基本思路是：从条件出发，结合相关知识，寻求结论。

例2 (江苏省盐城市中考题)已知AB为O的直径，P为AB的中点。

(1)若O与O外切于点P(见图甲)，AP，BP的延长线分别交O’于点C、D，连接CD，则APCD是________三角形。

(2)若O’与O相交于点P、Q(见图乙)，连接AQ、BQ并延长分别交O’于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：

问题一：判断PEF的形状，并证明你的结论；

问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论。

我选择问题_______，结论：_________。

分析与解 (1)因为AB为O的直径，所以∠APB＝90°，所以∠CPD＝90°，即PCD是直角三角形，又因为P为AB的中点，所以∠PAB＝∠PBA＝45°，过P作两圆的内公切线EF，则∠PDC＝∠CPF＝∠APE＝∠PBA＝45°，同理∠PCD＝∠PAB＝45°，所以∠PCD＝∠PDC，因此PCD是等腰直角三角形。

(2)问题一的结论为：PEF是等腰直角三角形，

连接PA、PB，因为P为AB的中点，所以PA＝PB，又因为AB是O的直径，所以∠AQB＝∠EQF＝90°，所以EF是O的直径，所以∠EPF＝90°，在APE和BPF中，PA＝PB，∠PBF＝∠PAE，∠APE＝90°＋∠EPB＝∠BPF，所以APE≌BPF，所以PE＝PF，因此PEF是等腰直角三角形。

问题二的结论为：AE＝BF，且AEBE由问题一的证明过程可知，∠AOB＝90°，且APE≌BPF，所以AEBF，且AE＝BF。

三、条件和结论全开放型

条件和结论全开放，是指问题的条件和结论都不确定，解决这类问题的基本思路是：认真分析题设条件，结合图形，选择恰当的条件，使某些结论成立，并予以证明。

例3 (宁夏回族自治区中考题)如图，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C，给出下列三个条件：①AB是圆的直径：②D是BC的中点；③AB＝AC，请在上述条件中选取两个作为已知条件，剩下的第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明。

分析与解根据题设和图形，认真分析给出的三个条件，不难发现，选取三个条件中的任两个作为题设，剩下的第三个作为结论都能组成正确的命题，因而可得三个正确的命题：

命题一的条件为AB是圆的直径，D是BC的中点，结论为AB＝AC。

命题二的条件为AB是圆的直径，AB＝AC，结论为D是BC的中点，

命题三的条件为AB＝AC，D是BC的中点，结论为AB是圆的直径，

现以命题一为例进行证明，请读者自己证明命题二和命题三，连结AD，因为AB是圆的直径，所以∠ADB＝90°，因为D是BC的中点，所以BD＝DC，所以AD垂直平分BC，由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC。