细分矩阵在分析细分方法性质中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇细分矩阵在分析细分方法性质中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：本文对在进行特征分析中要用到的循环矩阵和离散Fourier变换做了介绍，通过对线性静态细分方法的细分矩阵分析给出了线性静态细分算法在收敛性、连续性方面的重要研究成果，最后以Loop细分方法为例，说明了细分矩阵在特征分析中的应用。

关键词：细分方法；细分矩阵；特征分析

中图法分类号：TP391

1 引言

细分方法作为曲线曲面的离散化造型方法，是根据初始数据由计算机直接生成曲线曲面或其他几何形体的一类方法。由于细分曲线（曲面）没有整体解析表示形式[1]，细分方法是运用细分规则对控制网格进行不断细化，因此，它是一个迭代算法。对于迭代算法，必须了解其数值方面的性质：收敛性和连续性，了解细分曲面的上述性质是正确应用细分算法的前提，也是创建新算法的基础。由于线性静态细分算法，其细分规则可以用细分矩阵表示，通过对细分矩阵进行特征分析，就可以了解细分算法的性质，因此，细分矩阵在细分算法中占有重要的地位。对于线性静态细分算法的基本性质（如收敛性、连续性、稳定性）都可以用细分矩阵来分析，对于新算法的创建也可用改变细分矩阵的特征值来实现。对于细分算法的精确计算（极限点、法矢量、切矢量、位矢）都离不开细分矩阵。本文首先介绍了在进行特征分析中要用到的数学知识循环矩阵[2]和离散Fourier变换[3]，然后通过对线性静态细分方法的细分矩阵分析给出了线性静态细分算法在收敛性、连续性方面的重要研究成果，最后以Loop细分方法为例，说明了细分矩阵在特征分析中的应用。

2 特征分析的数学基础

由于细分矩阵具有块循环的特点，因此通过离散Fourier变换可把它变成块对角形式。下面首先对循环矩阵和离散Fourier变换作一简要介绍：

2.1 循环矩阵

定义1[2] 设 ，这里 表示复数域，则下面的 矩阵

称为数组 的循环矩阵。矩阵中的每一行由上一行的元素右移一个位置，并将溢出的元素移到左边第一列位置而组成。

定理1[2] 设 为数组 的循环矩阵，则 的特征值为

相应于 的特征向量 可取为

其中 。

定理2[2] 设 为数组 的循环矩阵，则 的特征值为

相应于 的特征向量 可取为

其中 。

2.2 离散Fourier变换

定义2[3] 对于离散函数 ，其Fourier变换定义为

如果 是离散函数 的Fourier变换，那么

这就是离散函数 的逆Fourier变换。

3 线性静态细分方法

3.1 细分矩阵

定义3设初始网格 某个顶点子集序列为 ，而第 次细分后网格 的控制顶点子集序列为 ，其中 中的顶点只与 中的顶点有关，与 的其它顶点无关。对于线性细分方法，由于 的顶点是 的顶点的线性组合，因此有矩阵形式

矩阵 称为细分矩阵或迭代矩阵。如果 和 中包含了 和 中的全部顶点，则称 为全局细分矩阵，否则称为局部细分矩阵。

3.2 收敛性分析

由于常用的细分方法都是线性静态的，因此不同层次的细分矩阵是相同的，即

，从而

设细分矩阵 的特征值为 ，且 ，相应的特征向量分别为 ，则控制顶点集 可分解为 特征向量的组合

其中，系数 是三维行向量。

由于 是线性的，所以有

可以看出，无限细分后， ，如果 ，则细分方法使控制网格收缩到原点；如果 ，则细分方法收敛；如果 ，则细分方法是发散的。

Zorin从更为一般的角度对静态细分方法的收敛性进行了讨论，给出了细分方法收敛的充分必要条件如下：

定理3[4]静态细分方法收敛的充分必要条件是：其细分矩阵 的所有特征值除了 外，其它特征值的绝对值都小于1。

3.3 连续性分析

奇异顶点处细分曲面的连续性一般化分析理论是Reif奠定的，通过引入特征映射的概念，Reif建立了一般静态细分方法生成正则极限曲面的充分必要条件，即需要判断特征映射的正则性和单射性。Prautzsch则利用特征映射对细分曲面进行局部参数化，推广了Reif的结果，对任意静态细分方法给出了极限曲面 连续的充要条件。

定理4[5] 设 是细分矩阵 的 个特征值（可能是复数），且 ，假定二重次主特征值 对应的两个特征向量为 。如果由 给定的第一曲面环正则且不自交（单射性），同时满足 ，则对于初始网格 的极限细分曲面是 连续的。

Zorin[6]给出了静态细分方法 连续的条件，并设计了一个验证 连续的算法。对于非静态细分方法的连续性分析，目前仍然是一个需要深入研究的理论问题。

4 Loop细分算法特征分析

Loop[7]细分算法是线性的，因此其细分过程可以用细分矩阵表示。下面以分片光滑细分算法为例，对分片光滑细分算法进行了特征分析，这里分析结果是细分曲面的精确计算的基础。Loop采用1－4三角形分裂算子插入新顶点，考虑以 为中心的顶点， 为相邻顶点的伞状网格。根据Loop细分规则有

由式（3）知，对局部细分矩阵 进行相似变换可将其对角化，通过式（1）、（2）可得 的特征值分别为 ，根据定理2我们可以给出相应于特征值的特征向量，从而我们可以对该细分方法的收敛性、连续性性质进行分析。

参考文献

[1] 李桂清．细分曲面造型及其应用．学位论文，中国科学院计算机研究所, 2001

[2] 陈景良， 陈向晖．特殊矩阵．北京：清华大学出版社，2001

[3] E.Brigham. The Fast Fourier Transform. Prentice-Hall, New Jersey. 1994

[4] D. Zorin. Stationary subdivision and multiresolution surface representation. Ph.D Thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California, 1998

[5] H. Prautzsch. Analysis of subdivision surfaces at extraordinary points. Oberwolfach 1995