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利用一元二次方程解决某些实际问题的题目,常出现在中考试卷的最后几题.常见题型有如下几种.
1. 利率问题
例1 某班级前年暑假将班费中的2 000元按1年定期存入银行,去年暑假到期后取出了1 000元捐给希望工程,将剩下的1 000元与利息继续按1年定期存入该银行,待今年暑假毕业时全部捐给了母校.若该银行年利率无变化,且今年暑假到期后可取得本息共1 155元,该银行1年定期存款的年利率是多少?
分析: 在利率问题中,“本金×利率×期数=利润”,这是基本的等量关系.此题中“今年的本金”指剩下的1 000元与去年2 000元的利息的和.等量关系为:本金+利息=本息.
解:设该银行1年定期存款的年利率是x%.
依题意,得(1 000+2 000×x%)+(1 000+2 000×x%)x%=1 155.
解之,得x1=5,x2=-150(舍去).
所以,该银行1年定期的年利率是5%.
方法归纳:利率问题有四个基本量:本金、利息、利率、次数.它们之间的关系就是某种条件下的等量关系.弄清楚这些是关键.
2. 面积问题
例2 某大学计划在一块长80 m、宽60 m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3 500 m2(包括观众席等设施),四周为宽度相等的人行道,如右图所示.则人行道的宽为多少米?
分析: 此题的关键是确定网球场的长和宽,观察图形可知,长和宽就是去掉人行道的宽度.
解:设人行道的宽为x m.
依题意,得(80-2x)(60-2x)=3 500.
解得x1=5,x2=65(舍去).即人行道的宽为5 m.
方法归纳:面积问题变化多端,没有固定模式,熟记各种图形的面积公式并灵活运用是关键.
3. 销售问题
例3 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,则每天可售出500 kg.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,则日销售量将减少20 kg.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
分析: 题目中的等量关系是:日盈利×日销售量=每天盈利.关键是确定涨价后的日销售量.
解:设每千克应涨价x元,则每千克盈利(10+x)元,日销售量为(500-20x).
根据题意,可列方程(10+x)(500-20x)=6 000.解得x1=5,x2=10.
为了让顾客得到实惠,所以取x=5.所以,每千克应涨价5元.
4. 节约与环保问题
例4 某省农作物秸秆资源丰富,但合理使用量十分有限,2006年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧.假定这个省每年产生的农作物秸秆的总量不变,且合理利用的增长率相同,要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增长率.
解:设该省每年产出的农作物秸秆总量为a,合理利用的增长率为x.
由题意,得a×30%(1+x)2=a×60%.即(1+x)2=2.
解得x1≈0.41,x2≈-2.41(舍去)
所以,该省每年秸秆合理利用的增长率为41%.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”