建立数学模型巧求一次函数解析式

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【 摘 要 】求一次函数解析式的过程，实际上是一种数学建模的过程。一次函数解析式的求法在初中数学教学内容中占有举足轻重的作用，中考命题大多以填空，选择，解答的题型出现，在许多综合性题目中都要用到它。

【 关键词 】一次函数解析式 数学模型

求一次函数解析式的过程，实际上是一种数学建模的过程。一次函数解析式的求法在初中数学教学内容中占有举足轻重的作用，中考命题大多以填空、选择、解答的题型出现，在许多综合性题目中都要用到它。如何把这一部分内容学得有效灵活呢，现结合初中数学教学实践，在此略举几例，以期抛砖引玉。

一、根据定义建立一次函数模型。

例1、已知函数 是一次函数，求其解析式。

解析：由一次函数定义知：

解得： 所以： m=-1

故一次函数的解析式为 y=-2x+5

点评：利用定义求一次函数y=kx+b 解析式时，要保证k≠0.如本例中应保证m-1≠0.

二、根据表格建立一次函数模型

例2、下表列出了一组不同气温时的音速：

（1）你能求出传播的速度（m/s）是气温（℃）的函数吗？

（2）当气温为22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到响声，那么此人与燃放的烟花所在地相距多远？

解析：1）设传播的速度y与气温t的函数关系式为y= kt+b，

则有 解得

所以传播的速度y（m/s）与气温（℃）的函数关系式为

2）当t=22时，有

所以344.2×5=1721（米）

答：此人与燃放的烟花所在地相距1721米。

点评：表中给出了y与t的一些对应数据，选择其中任意两组（如一、二组）对应量建立方程组，就可求出一次函数解析式。

三、根据两点建立一次函数模型

例3、已知某直线的图像经过点（3，5）、（4，9），则这条直线的解析式为 。

解析：设此直线解析式为y=kx+b，则有

k=2， b=-1

故此直线解析式为

y=2x-1

点评：根据题中给定的两个点的坐标，用待定系数法建立一次函数模型可求k、b，则可求出直线的解析式。

四、根据图像建立一次函数模型

例4、已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为

解析：设该函数解析式为y=kx+b，由图知一次函数的图像过点（-2，0）、（0，3），则有 解得

因此该函数的解析式为

点评：根据图像求一次函数解析式，关键从图上找到两个明确的点的坐标，然后利用待定系数法求出k、b。如本例中与两坐标轴的交点坐标（-2，0）、（0，3）。

五、根据情景建立一次函数模型

例5、小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：

请根据图2中给出的信息，解答下列问题：、

（1）放入一个小球量桶中水面升高 ；

（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？

解析：（1）从图2中可以观察出加入3个球水位增长了6，从而就可以求出放入一个小球量筒中水面升高的量为2；

（2）设y=kx+b，把（0，30），（3，36）代入得：

解得 k=2， b=30

故一次函数关系式为： y=2x+30

（3）由2x+30>49，得x>9.5

即至少放入10个小球时有水溢出.

点评：本题从中国古老的故事中找到存在的函数关系，情景新颖，同时具有一定的文化底蕴.对于第（2）问中一次函数关系式的求法，我们可以考虑筒中已有的水量为一次函数的常数项，再利用增长的量求出相应的.

六、根据面积建立一次函数模型

例6、已知直线 y=kx-8与两坐标轴所围成的三角形面积等于16，则直线解析式为（ ）.

解析：根据题意易知直线与 x轴交点坐标为（ ，0），由三角形面积得：

函数解析式为y= 2x-8或y=-2x-8

点评：根据面积求一次函数解析式关键要读懂题意，考虑多种情况，最好能通过作草图帮助分析。本题中的k可正可负。

七、根据实际问题建立一次函数模型

例7.42码的鞋子26cm，39码的鞋子24.5cm，请建立鞋子的长度y（cm）与码数x（码）之间的函数模型。

解析：设该函数模型为y=kx+b，根据题意得：

解得

故该函数的解析式为

点评：根据实际问题求一次函数解析式，关键从题中找到两个独立的条件。待定系数法是最基本的方法，其他方法也是由此演化而来。