高中数学新课程中算法及其教学研究

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算法活动是一种学生积极有效的学习活动，在现代数学教学中占有重要的地位.基于目前算法教学中存在的问题，在新知导入阶段，我们应根据学生的认知特点，引入学生熟悉的实例，创设合理的问题情境，以刺激学生的最近发展区，让学生以原有知识为基础，实现知识的内化和迁移，多方位地理解算法相关的概念，从而推进课堂教学有序高效地进行.在以上研究的基础上本文对算法教学提出以下一些建议.

一、正确定位算法内容的教学目标

算法既重视算法规则，又重视算法原理.算法原理有着更基本的作用，算法原理是算法规则的基础，算法规则是算法原理的表现.算法思想贯穿于整个中学数学内容之中，算法的具体实现可以和信息技术相联系，因此算法有利于培养学生理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材.算法教学，要教学生学会设计自己的算法，会确定自己的问题解决步骤和方法.教学算法要帮助学生组织他们自己的思路并明确这种组织的重要性.教学中应当把体会算法的基本思想、提高学生逻辑思维能力作为重点，正确定位算法的教学目标，准确把握算法内容的教学要求，精心设计教学，以教科书中提供的案例为载体，引导学生在设计程序框图、将程序框图转化为程序语句的实践中，体会算法的含义，学会用程序框图表达解决问题的思路，从而将算法过程处理编译为程序语言.

二、强调通过实例引导学生认识算法的本质，适当地从数学史的角度来设计算法教学

数学史的角度对课本中出现的算法案例进行解析可以增强数学的趣味性，在我国的《九章算术》和《孙子算经》等古代数学著作中就有许多有趣的问题可供我们选择，例如，著名的“鸡兔同笼”问题:“今有雄兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何?”这个例子既有趣又有一定代表性，用方程组的思想不难解决这一问题.利用此例引入算法含义，能够提高学生的学习兴趣.诸如此类的教学设计要求我们广大的一线教师特别是在大学里对算法和数学史已有过相关涉猎的年轻教师应该尽量补充相关的知识内容，而不仅仅满足于学生较低层次的接受水平，此外对于这部分内容教材中已经介绍了很多案例和阅读资料，但是仅仅依靠这些并不能很好地引导学生体会算法思想的精髓，从中外古今算法比较的角度进行设计，可以让学生在理解了课本知识的基础上，在思维上有个参照，有更高的提升.算法的教学应重视案例的选择.以往我们的教材中的许多问题来源单一，远离我们的生活实际，远离数学科学的近期发展，这样不利于学生问题解决能力的培养，所以算法的教学应重视实例选取的多样化.不仅要有现实生活中的，可以是学生熟悉的，如求近似值、求最大公约数，或最小公倍数，也可以是新问题，如用二分法或切线法求方程根的近似值，还要有与数学科学本身近期发展有关的，不仅要有趣味性的，还要有数学专业性的，以及与相关学科有关的;有我们已经解决的，也有我们尚未解决的.通过案例的学习使学生能够进一步理解算法的本质.算法活动还可以为一些学生提供宽松的空间，鼓励学生沿着更合理的途径解决问题，获得数学上的认证，学生会因为自己发现的算法而高兴.

三、强调学生的实践，合理使用信息技术

算法本身是实践性很强的内容，只有通过学生自己的亲身实践，让学生亲自去解决算法设计的问题，才能使学生体会算法的基本思想，学会一些基本逻辑结构和语句.另外通过算法的使用能改变学生对数学的态度，因为算法的使用可以让学生把数学看作是一个过程，而不是提问――解答的跳跃式活动.因此，在教学中要强调通过实例让学生体会和理解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法语言的基本构成，理解几种基本算法语句.因此，如果能让学生上机，算法设计的整个过程就可以得到完整的体现，学生可以及时看到自己设计的算法的可行性、有效性，这可以很好地激发学生的兴趣，提高学生学习算法的兴趣，从而对他们的算法学习产生积极的效果.因此，有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试.

四、重视过程教学，体会算法思想

.算法的概念并没有一个统一的定义，教科书从丰富的实例出发，自始至终贯彻“通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题)，体会算法的思想，了解算法的含义”的要求，力求使学生能够对算法本质有所认识.自然语言、程序框图和算法语言是表达算法的三种形式，教科书通过简单的实例来说明程序框图和算法语言的使用，也主要从算法的典型性、与以往知识的连续性和可接受性的角度出发，抓住了算法表示的核心内容，不追求完整.算法案例的处理也遵循了这一原则，重在对案例的算法的分析，算法教学时教师应提供从事数学活动的机会，算法的操作性很强.例如下列问题:写出求12+12++12(共有6个2)的值的一个算法，并画出流程图.

本题是课本中的一个习题，学生在做作业时普遍感觉这道题很难，根据学生的作业情况对学生进行了访谈如下:

问:看到这个题目，首先是如何想的?

生1:因为要求我们对这个连分数的值进行算法设计，所以我首先想到从最下面的分母开始算起，我也感觉到这个算式的结构是有规律的，其运算过程出现了重复性，但是想到用流程图画出就觉得不会了.

生2：我试图将I12，下一步要加2，所以我又用一个变量S，将SI+12，即S=I+12，但发现接下来必须用1去除，到这里觉得这个思路好像不通，因为“加”、“除”的运算是交替进行的.

生3:我能肯定该题的算法设计肯定要用到循环结构，然后就从前面学过的问题中去寻找共同点以便于模仿.可是看了以后，好像各有各的特点，每个问题的算法设计都能理解，但却找不到本质上的共同之处.所以感觉前面的算法体验对这道题没有什么可借鉴之处.

生4:我首先是将结果用笔计算出来，然后用一个变量来代替.这样做，感觉好像不对，只能对具体值有用，换个数据的话就要重算，不是很实用.然后又思考如果将2换成x看看有没有公式去表示这个结果，但又找不到一个统一的表达式.

后来，我给予了提示:如果令xn=12+12++12，则该式可以写成:xn=12+xn-1，事实上，这是一个“递归问题”.然后再让学生去思考如何进行算法设计?结果班里仍有一些同学不能正确地进行算法设计.事实上:

S1 S12

S2 I1

S3 S12+S,II+1

S4 如果I≤6,转S3,否则转S5

S5 输出S

算法的循环结构具有递归的作用，而这种递归作用是“运算力”的一个来源，因为一旦一个问题得到解决，这种方法就可以举一反三.在循环结构中我们有很深的体会.算法的递归的特性与数学本身的递归特性很相似，可以说本质是统一的.

从上面的访谈中了解到:尽管在课堂上老师讲了算法设计中的循环结构.但是学生面对不同的具体问题还是看不透问题背后的数学本质，所以也就意识不到该问题的算法设计，也不知道为什么要用到循环结构?以及怎样进行循环?

因此算法教学应当强调学生的动手实践.教学中应当充分应用教科书中提供的实例，使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和算法语句.

五、 算法思想应渗透在整个高中数学课程中

发展层次的最高层次是严密性或公理性，此层次一般人很难达到，即使是以数学为专业者亦不易达成.算法教学时应有意识地朝着这一方向努力.首先注意数学问题的提出方式多样化，可以为学生设置不同的问题情境，从而激发学生多角度的问题思考，其次注意解决问题方式的多样化，不仅应展现解决问题的方式，还应展现同一问题的各种解决方式，不同的问题有不同的解决方式，一个问题也可以有许多种解决方式，有意识地引导学生体会算法思想，不断加强对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性.算法除作为模块的内容之外，我们要有目的，有组织，有意识地将算法思想渗透和应用在高中数学的有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题.例如，在函数学习中，可以把函数概念作“算法化”的理解.在方程与函数的联系中，可以用二分法设计出相应的算法，再借助计算器或计算机求方程的近似解;在数列学习中，可将算法用于对有限数列的求和，求项数等问题中;在统计、概率学习中可将算法用于统计量的计算，此外，教学中可把数学学习中的问题、生活中的素材拿到课堂中去，尝试着用算法去解决，增强学生的兴趣和吸引力.

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