公式教学教什么?
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公式学习是初中数学学习的重要内容。在公式教学中,教师必须树立将公式教学作为发展学生思维、培养能力的载体的观念,应注重它的形成过程,引导学生深刻领悟公式的本质特征,努力培养学生的思维品质和运用公式的能力。本文结合公式教学谈几点体会。
一、教公式的引入,培养思维的积极性和主动性
在公式引入时,要精心设计,创设问题情境,引导学生观察和猜想,激发学生探索动机和求知欲望,使学生处于积极的思维状态。
公式的引入,除了直接引入外,还有多种引入方法。如在教学完全平方公式时,设计两个问题:①(a+b)2与a2+b2的值相等吗?②要使等式(a+b)2=a2++b2成立,方框内应加上一个什么式子?引导学生大胆试验,合理猜想,积极探索,学生得出猜想:方框内应填上代数式2ab。这样经过自己发现的公式,无论从情感上还是从兴趣上,都比直接给出公式再加以证明更富有吸引力,对公式也有了更深层次的理解。
二、教公式的推导,培养学生思维的批评性和广阔些
公式教学,要重视公式的推导和证明,引导学生多角度地考虑问题,使学生对数学问题能够独立思考,敢于提出自己独到的见解,不轻信、不盲从现成的证法,放开思路进行思考,由此培养学生思维的批评性和广阔性。
不少公式有多种推导方法,如一元二次方程求根公式的推导,先把ax2+bx+c=0(a≠0)化成x2+x=-,再配方,得 ①,对①式如何处理才能求出x?多数学生很自然的想法是进行两次开平方, 。这样推导有没有问题?学生思考后不难发现应在b2-4ac≥0的条件下才能开方。进一步问学生对①式还有其他处理方法吗?对①式两边乘以4a2,得(2ax+b)2=b2-4ac,当b2-4ac≥0,x= 。又进一步问学生是否有更简便的方法。有一位学生提出了一个很好的问题,公式推导的第一步“为什么要两边除以a”?教师顺水推舟,“两边不除以a可以吗?”学生终于得到了一种最简便的方法,即两边都除以4a,得4a2x2+4abx+4ac=0,有 (2ax+b)2=b2-4ac,当b2-4ac≥0时,x=。在公式推导中鼓励学生质疑,多问几个为什么,严格地批判自己提出的假设或证明方法是否正确和简洁,这对训练学生思维的批评性和思维的广阔些是大有益处的。
三、教公式的可逆性,培养学生思维的辩证性
逆向思维是数学思维的一个重要方式,也是分散思维的重要组成部分。但学生往往习惯于正向思维,而忽视逆向思维。如习惯于公式的正向应用,而不善于逆向应用,显然,这对于学生数学能力的培养是极为不利的。因此,教师在公式教学中,应充分注意对学生逆向思维的训练,有意识地引导和培养学生逆向思维意识和习惯,帮助学生从正向思维过渡到双向思维,提高对公式的应用能力。
如对于乘法公式,正用,可进行多项式的乘法运算;逆用可进行多项式的因式分解。逆向运用幂的运算法则,可使许多计算简便。
四、教公式的变形,培养学生思维的灵活性和敏捷性
变式的过程就是思维的过程,而且是思维灵活性的一种表现。而学生思维的灵活性主要表现为能对具体问题作具体分析,随问题条件的变化,能迅速确定解题方向,找到新的解决问题的方法。
在公式教学中要注意对公式进行适当的变形,使学生在变形中活化思维。公式变形可通过变换问题的条件、结论的形式和内容,得出不同水平的问题,使学生能从不同角度、不同侧面来理解问题的实质。通过解决这些问题,可使学生灵活运用所学公式,摆脱思维定势的影响。
五、教公式的普遍性,培养学生思维的深刻性
一般来说,公式中的字母是具有普遍意义的,理解公式的普遍性,有助于我们全面、正确认识公式,深刻领会其精神实质,克服思维的表面性、绝对化与不求甚解得到毛病。
如公式√a2=|a|中的a可以表示数,也可以表示式,既可以表示有理式,也可以表示无理式。对原先学过的公式,在数扩展后,有必要对公式是否成立再作一次思考。如乘法公式在初一学习时,是把公式中的a、b当做有理数看待的,学习实数后,对这些公式在实数范围内是否成立再进行一次探索,拓宽公式的应用范围。
如x4-9=(x2+3)(x2-3)。(在有理数范围内分解);
x2-9=(x2+3)(x+√3)(x-√3)。(在实数范围内分解);
在复数范围内,还可以继续分解为(x+√3i)(x-√3i)(x+√3)(x-√3)。
六、教公式的局限性,培养学生思维的缜密性
数学公式由条件和结论两部分组成,在公式学习中要完整地掌握它(包括条件、结论和适用范围)。而其中公式成立的限制条件是学生运用公式时容易忽视的问题,往往会由此而导致错误。因此,公式教学中要十分注意公式的条件,明确公式的适用范围。掌握这一点,对于准确理解公式尤为重要。
例:已知方程x2+2(k-1)x+k2+3=0的两实根的平方和比两根之积大15,求k的值。
错解:设方程的两实根为m、n,由根与系数的关系,得m+n=-2(k-1), mn=k2+3。
m2+n2-mn=15, (m+n)2-3mn=15,[-2(k-1)]2-3(k2+3)-15=0,化简,得k2-8k-20=0,k1=-2,k2=10,
产生错误的根源在于运用根与系数的关系时,忽视了公式成立条件≥0。事实上,当k=10时,
通过让学生独立思考,既纠正了错误,又加深了对公式的理解,从而培养了学生思维的缜密性。