探究高考中的三角函数

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摘要：三角函数是高中数学重要的基本初等函数之一，在高考中所占分数比重较大，是高中教学的重点、难点，同时也是高考的热点。三角函数部分主要包括三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、三角函数的图像与性质，以及解三角形及其在生活中的应用。

关键词：三角函数；高考；解题方法中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）12-0289-02根据 《2013年福建省数学高考考试说明》指出，在学习三角函数时，已经学习了函数的单调性、周期性和奇偶性，从而进一步刻画了函数的概念与性质的掌握和认知。因此，高考中不仅要考查以三角函数定义、同角三角函数基本关系及诱导公式为工具的化简求值问题，也要突出考察三角函数的图像与性质，更重要的是以三角公式为素材，重点考察数学的思想方法。

三角函数是高中数学基本初等函数之一，对研究三角形和建模周期现象、物理学和许多其他问题来讲，都是至关重要的基础知识。前面在函数的学习中，已经为三角函数奠定了牢固的基础。而三角函数的有关性质及应用，也使得函数的内容和意义得到了升华和延伸。而高中生往往面对三角函数内容只会单纯的背诵公式，遇到问题时又手忙脚乱，不知如何下手，既找不到问题的解决办法，也茫然不知在众多的公式中该选择哪个。而在高考中，三角函数部分的设计往往是基础题一到两个，解答题一题，总分在20分左右，占据庞大比例，因此有必要有针对性地分析探究几种三角函数问题类型及解决方案。

1.考查三角函数的基本概念与基本公式问题

常考查利用三角函数的定义、三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和（差）公式及倍角公式进行化简、求值。

例1： 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)等于 ()

A.-79B.－13C.13D.79

答案A

解析(π3＋α)＋(π6－α)＝π2，

sin(π6－α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13.

则cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝－79.

点评：利用同角三角函数及诱导公式、二倍角来解决问题，在解题过程中一定注意对三角函数的符号的选择，不同的象限，取值不同。引导学生独立完成计算，取值等易错点。对于复杂的化简过程，引导学生不能盲目的套用公式，要依据已知条件，努力构造所需要的结果的形式，化简或整理过程要由负到正，由异到同，由高到低，由繁化简，尽量由题目的本身条件出发，寻找解答结论的突破口。这类题目源于基础，又高于基础，有一定的考查难度和解题思路的要求。

2.考查三角函数的图像问题

学习中学数学的核心内容是基础理论,而函数的图像是构成基础理论的一个重要部分.而 "数形结合思想"在高中数学中有着极其重要的地位，所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过属性互相转化来解决有关问题，可以以形解数，也可以以数定形，把直观图形与抽象的数学文字语言相结合。这一解题方法贯穿整个高中数学学习过程，并应用在生活实际中。

因此能够掌握并充分利用好函数图像是学习理论知识的一个重要环节.首先，要能够正确画出并合理应用函数图像,这样能在很大程度上能帮助我们理解、巩固所学的理论知识.其次，要借助于图像,能使所研究的问题简单化、清晰化、直观化.所以在教学中,一定要加强学生作图、识图、用图的本领。使学生从根本上明确函数图像的重要地位,并在实践中加以应用.

例3、(2012•高考四川卷) 函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形

(Ⅰ)求ω的值及函数f(x)的值域；

(Ⅱ)若f(x0)＝835，且x0∈(－103，23)，求f(x0＋1)的值．

解：(Ⅰ)由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sin(ωx＋π3)．

又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4.

所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.

函数f(x)的值域为[－23，23]．

(Ⅱ)因为f(x0)＝835，由(Ⅰ)有

f(x0)＝23sin(πx04＋π3)＝835，

即sin(πx04＋π3)＝45.

由x0∈－(103，23)，知πx04＋π3∈(－π2，π2)，

所以cos(πx04＋π3)＝1－(45)2＝35.

故f(x0＋1)＝23sin(πx04＋π4＋π3)＝23sin[(πx04＋π3)＋π4]

＝23[sin(πx04＋π3)cosπ4＋cos(πx04＋π3)sinπ4]

＝23(45×22＋35×22)＝765.

点评：本题完整的结合了三角函数诱导公式、三角函数图像、三角函数性质的有关内容，首先观察图形特征，各种长度取值对问题的影响，从而通过三角形的边长解决三角函数的周期，求出函数的解析式。

方法总结：针对y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①k的确定：根据图象的最低点和最高点，即k＝最高点＋最低点2；

②A的确定：根据图象的最低点和最高点，即A＝最高点－最低点2

③ω的确定：根据图象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.

引导学生解决图像问题要多观察，多动脑，结合三角函数的图形特征及其性质，解决三角函数中数形结合的问题。

3.考查三角函数的性质问题

例4、 (2012•高考湖北卷)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，设函数f(x)＝a•b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1).

(Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)在区间[0，3π5]上的取值范围．

解：(Ⅰ)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx•cosωx＋λ

＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ.

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，

可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．

又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.

(Ⅱ)由y＝f(x)的图象过点(π4，0)， 得f(π4)＝0，

即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sinπ4＝－2，即λ＝－2.

故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，

由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，

所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，

故函数f(x)在(0，3π5)上的取值范围为[－1－2，2－2]

点评：(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

②形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

4.三角函数的综合应用

例5、如图为一个缆车示意(图2)，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.

图2图3

(1)求h与θ间的函数关系式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间．

解(1)过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M(如图3)，

当θ>π2时，∠BOM＝(θ－π2)，

h＝OA＋BM＋0.8＝5.6＋4.8sin(θ－π2)

当0≤θ≤π2时，上式也成立．

h与θ间的函数关系式为h＝5.6＋4.8sin(θ－π2).

(2)点A在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，t秒转过的弧度数为π30t，

h＝5.6＋4.8sin(π30t－π2)，t∈[0，＋∞)．

首次到达最高点时，h＝10.4米，

即sin(π30t－π2)＝1，π30t－π2＝π2，

即t＝30秒时，该缆车首次到达最高点．

点评：本题属于对三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为三角函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了数学的化归的思想方法；通常研究的三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是通过建立精确的或通过数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立的拟合模型的函数来解决实际问题，另一种用已知的模型去分析解决实际问题，充分体现了新课标中"数学建模"的本质。

除了单纯地考查三角函数知识以外，往往还会三角与函数导数相结合、与平面向量相结合，与数列、推理证明、立体几何的结合，三角函数在高中数学中也起到了基础的工具性作用，因此在解决三角函数问题时，绝不能仅仅把知识单一化，专项化。还要更多的转化到综合性的问题上去。参考文献：

[1]《2013年福建省高考数学考试说明》

[2]王洁《高考三角函数题型探究》 甘肃联合大学学报（自然科学版）2012-11-30

[3]赖彩玲《论高中数学中的三角变换》 教育教学理论 2012-04-25

[4]吕慧《试探三角函数诱导公式的教学设计》现在教育 2011-03-20