蒙特卡罗模拟在项目财务评价中的应用

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摘要： 把蒙特卡罗方法运用于项目财务评价，可以通过构造数学模型与计算机仿真得到相对精确的评价值概率分布，并对该评价结果的有效性进行一定程度的讨论。

Abstract: Using Monte Carlo method in project financial evaluation, we can get relatively precise probability distribution of evaluation value by constructing a mathematical model and computer simulation, and make a certain degree of discussion about the effectiveness of the evaluation of the results.

关键词： 蒙特卡罗；项目财务评价；净现值；内部收益率

Key words: Monte Carlo；project financial evaluation；net present value；internal rate of return

中图分类号：F275 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）02-0105-02

0引言

蒙特卡罗（Monte-Carlo）方法，即蒙特卡罗模拟或随机模拟，又称试验法。它是一种模拟技术，即通过对每一随机变量进行抽样，将其代入数据模型中，确定函数值[1]。这种独立模拟试验N次，得到函数一组抽样数据。由此，便可以决定函数的概率分布特征，包括函数的分布曲线，以及函数的数学期望、方差等重要的数学特征，将N次模拟的结果用累计频率曲线和直方图来表示[2]。在项目财务评价中，计算评价指标的几个主要参数都具有明显的不确定性，但是根据专家的意见及对历史资料的调查和分析，我们可以基本确定这些主要参数的分布及特征值。运用蒙特卡罗方法对评价指标的主要参数进行随机模拟，在计算机软件中（如EXCEL，MATLAB）可随机生成大量的评价值（如财务评价中的NPV，IRR），之后对这些评价值采用统计的方法进行分析，确定该评价值的分布及特征值，并对评价值的有效性进行一定程度的讨论。

1理论

1.1 蒙特卡罗方法在项目财务评价中的基本思想由于项目财务评价中各经济参数受未来政治、经济和社会因素的影响比较大，所以如年经营成本、年收入等参数在一定时间和范围内具有随机性质，我们可以通过概率统计方法进行正确的描述和用计算机软件对这个概率过程进行模拟。

1.2 蒙特卡罗方法的理论基础[3]概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡罗方法的基础。大数法则反映了大量随机数之和的性质。如果函数h在[a，b]区间，以均匀概率分布密度随即地取n个数ui，对每个ui计算出函数h（ui）。大数法则告诉我们这些函数值之和除n所取得的值收敛于函数h的期望值，

即hu=h（u）du（1）

根据这一法则，我们在抽取足够多的随机样本后，计算得到的积分的蒙特卡罗估计值将收敛于该积分的正确结果。

中心极限定理可以近似的告诉我们：在有足够大，但又有限制的n值情况下，蒙特卡罗估计值是如何分布的。该定理指出，无论单个随即变量的分布如何，许多独立随机变量之和总是满足正态分布。高斯分布可以由给定的期望值μ和δ2完全确定下来。通常用N（μ，δ2）来表示高斯分布密度函数，即

f（x）=exp-（x-μ）/（2δ）（2）

如果公式（1）右边积分的期望值为，公式左边的蒙特卡罗估计值为In，标准误差为δ，则当n充分大时，对任意λ（λ＞0）有

P＜λ=edt=1-a（3）

这说明：该积分的期望值与蒙特卡罗估计值之差在范围内的概率为1-a，a为显著水平，1-a为置信水平。a为蒙特卡罗估计值的标准误差，δ2=V（f）/n。

I-＜λ（4）

1.3 蒙特卡罗方法的精度分析蒙特卡罗方法精度的概念也不是通常意义下收敛于真值，而是在某一置信度，或者说某一概率意义下收敛于真值。也就是说，精度是带有随机性的，我们只能知道有多大的可能性具有某一精度，而不能认准一定具有某一精度。由于我们在项目财务评价时，不需要也不可能计算出准确的评价值，而只需要获得有助于投资者决策的赢利范围或风险范围即可。鉴于此，蒙特卡罗模拟用于项目评价有着很好的理论基础和可信度。

2算例

某建筑工程投资项目的几个主要参数都具有不确定性，根据专家的意见和调查分析，这些参数的分布和特征值如下[4]：①初始投资 正态分布，期望值和标准差分别为50000元和1000元；②研究期（项目的寿命周期）均匀分布，最短10年，最长14年；③年销售收入 离散分布，有三种可能（如表1）；④年经营成本（包括税收支出）正态分布，期望值和标准差分别是30000元和2000元；⑤基准贴现率（MARR）确定为10%。

在EXCEL中用蒙特卡罗方法对该投资项目的净现值（PW）及内部收益率（IRR）各模拟1000次，限于篇幅关系，模拟数据已省略。

由净现值累计平均值图（图1）知模拟次数在1000次时，净现值累计平均值在6600左右波动，故模拟1000次符合抽样模拟要求。由NPV蒙特卡罗模拟散点图（图2）和IRR蒙特卡罗模拟散点图（图3）知，模拟值点大量出现在均值附近范围内。

根据蒙特卡罗模拟净现值直方图（图4）和蒙特卡罗模拟净现值概率密度曲线图（图5）[5]，可以观察出所模拟净现值基本符合正态分布，净现值平均值为6609元，净现值标准差为26265元。根据大数法则和中心极限定理知，μNPV=6609元，δNPV=26265元。净现值X小等于零的概率Pr（NPV≤0）=Pr{Z≤（0-6609）/26265}=-0.25}，查标准正态分布的表格，Pr（NPV≤0）=Pr（Z≤-0.25）=0.4013，也就是说该项目的净现值只有60%的可能性大于零。变异系数即风险系数CVNPV=26265/6609=3.97，说明离散程度比较大，也即净现值大于0的风险比较高，决策者要慎重考虑是否投资该项目。

根据蒙特卡罗模拟内部收益率概率密度直方图（图6）和蒙特卡罗模拟内部收益率概率密度曲线图（图7）[6]，可以观察出所模拟净现值基本符合正态分布，内部收益率平均值为11%,内部收益率标准差为0.11。根据大数法则和中心极限定理知，μIRR=11%，δIRR=0.11。内部收益率小于等于10%的概率Pr（IRR≤10%）=Pr{IRR≤（0.1-0.11）/0.11=0.09}，查标准正态分布的表格，Pr（NPV≤10%）=Pr（IRR≤0.09）=0.4641，也就是说该项目的内部收益率有46%的可能性小于10%。风险系数CVIRR=0.11/0.11=1，说明离散程度一般，也即内部收益率大于10%的风险不太高，决策者要综合考虑其它指标后再做出是否投资该项目的决策。

3结语

模特卡罗方法应用于项目财务评价，其优势有：①使用模特卡罗方法时其收敛速度与问题维数无关，尽管项目评价中主要参数形成的维数一般大于3，由于该法对多维问题的适用性，所以可以得到很好的解决；②受问题条件的限制小；③程序结构十分简单，便于编制和调试[7]；④本文将该法与数值方法联合起来使用，取得了比较满意的结果。尽管模特卡罗方法用于项目财务评价有不少优点，但作者认为仍有不容忽视的缺点，如①该法要求的数据信息较多，每个输入参数都必须有个确定的变化范围和概率分布曲线，虽然分布曲线是凭过去的统计数据或主观经验确定的，但在资料不足的可行性评价阶段，要有效的做到这点很不容易；②进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的，因此该方法不能显示实际存在的输入变量之间的相互关系。

参考文献：

[1]吉庆光.蒙特卡罗方法及其在水利学中的应用[1].江苏:东南大学出版社，2004.

[2]陈伟珂.工程项目风险管理[2].北京:人民交通出版社，2007.

[3]张民悦，张力远.概率统计[3].甘肃:甘肃民族出版社，2000.

[4]黄渝祥，刑爱芳.工程经济学（第三版）[4].上海:同济大学出版社,2005.

[5]苏金明等.MATLAB工程数学[M].北京：电子工业出版社，2005.

[6]宋伟，王恩茂.工程经济学[M].北京:人民交通出版社，2007.