数值分析课程分层次教学研究初探

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摘要：结合教学实践过程，针对高校学生客观存在的差异，提出数值分析课程分层次教学模式的思考。目的是改革传统教学方法，使教学在充分考虑学生个性差异和不同需求的前提下，促使学生更积极主动地进行学习，提高教学效果。

关键词：数值分析；分层次教学；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）46-0118-02

随着大学本科教育由精英教育向大众化教育的转变，各高校招生规模的扩大以及各地区教育发展的不平衡，学生间的水平差异相对加大，学习困难的学生人数相对增多，两极分化现象日益严重。传统课程教育所采用的三个统一的教学模式，即教学大纲、教材、考核方式统一，不能充分照顾学生的个体差异，使得基础好的学生可能吃不饱，基础较差的学生可能跟不上。一个班里的学生基础相差较大时，这种“吃不饱”和“消化不了”的学生就比较多，不利于教学质量的提高。数值分析课程是综合性大学数学专业的一门核心基础课程，它既有数学课程理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。数值分析课程内在知识结构及理论系统性，决定了该课程教学应该遵循可接受性原则。在数值分析知识链条中，不掌握前面基础知识和数值算法，就难以接受后面知识和算法。要解决学生数学基础和计算机应用基础差异大的问题，就必须实施分层次教学。所谓的数值分析分层次教学，即在原有的师资力量和学生水平的条件下，通过分层次教学，充分承认学生间的个体差异以及考虑各层次人才数学素质的要求，引导学生朝着自己感兴趣和能发挥其优势的方向发展，让优秀人才更快更好地成长。近年来分层次教学改革模式的研究与实践已被国内不少学者了解和重视。其中，有从宏观方面进行分析论证的[1]，也有从微观方面针对某些学科和课程进行研究的[2-5]。然而，针对数值分析这门课程进行分层次教学改革研究的比较少。本文在结合作者近两三年来的教学经验基础上，针对该课程的教学特点，提出了对该课程实施分层次教学改革的一些积极探索。

一、数值分析课程的特点

数值分析是一门与计算机密切结合、实用性很强的数学课基础课程，它主要研究运用计算机解决数学问题的方法及其理论。总的来说，这门课程具有以下几个特点：

1.课程知识面跨度大。数值分析课程内容丰富，知识面跨度大。内容包括数值逼近、数值积分、线性方程组的直接解法和迭代解法、非线性方程组的数值解法、矩阵特征值问题的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法等，知识面涉及数学分析、高等代数、微分方程等众多课程的重要知识理论。学生必须在掌握好这几门课程基本内容的基础上才能更好地学习数值分析。

2.注重理论知识与实际应用的结合。数值分析课程与其他数学基础课程强调理论分析和逻辑推理不同，数值分析课程更注重利用这些理论，构造适合计算机运行的数值方法去解决工程实际中抽象出来的数学问题。

3.特别强调上机实践。数值分析主要研究那些在理论上有解但手工求解计算量很大，必须借助计算机求解的数学问题或者实际工程问题抽象出来的不需要精确解的数学模型。它的许多理论及数值计算方法本身并不是数学学科的产物，而是以工程应用为背景、以“计算”为目标发展起来的。因此，在本课程的教学过程中，特别强调上机实践。

二、具体实施数值分析课程分层次教学的几点建议

1.学生主体层次化的划分。分层次教学是以学生主体的层次化为基础。学生层次的划分，可以参考学生高等代数和数学分析的学习成绩、学习态度、学习能力和学习兴趣等实际状况来制定。在指导教师的帮助下，通过学生自选和学院筛选，将学生分为基础班和递进班。但应强调的是，这样的分层是暂时的、流动的。经过一个月或者半学期时间的观察，根据学生学习能力的变化或学生的具体情况，可以做出相应调整，以达到鼓励学生的学习积极性和主动性的目的，同时也能避免引起学生情绪的波动。

2.教学大纲的层次化模式。分清学生主体的层次后，应根据不同层次学生的特点，在满足信息与计算科学和数学与应用数学专业学生培养方案要求的前提下，制定不同层次授课的教学大纲。基础班理论课的教学大纲侧重于基础理论知识的掌握及算法能力的培养，在学时分配上侧重于各类数值算法的工程背景及具体应用，如线性方程组求解理论的工程应用，函数插值及函数逼近等算法在经济学和数学建模中的应用等。基础班实验课的教学环节注重学生对基础实验的掌握和各种数值算法的运用能力。递进班理论课的教学大纲在学时分配上侧重于数值算法的收敛性及稳定性等，如解线性方程组迭代法的收敛性证明和误差估计、各种插值算法的误差估计理论、数值积分中的外推原理等理论性较强的教学环节，各章节理论的应用部分主要采用自学或大作业的方式，实践环节主要引导学生开展综合性、设计性实验，并吸收学生参加教师的科研项目，以培养学生的研究能力和创新能力。

3.实验课教学的层次化模式。数值分析实验课程也应进行相应的分层次教学模式，以满足学生个性化发展的需求。可以将实验分成三个层次：基础训练性实验、综合设计性实验和创新研究性实验。基础性实验即对各类数值算法的验证性实验和基本的算法应用性实验，侧重于对数值分析基本知识、基本算法的训练。综合性设计性实验是各种数值计算方法和手段的综合应用训练，侧重于培养学生知识综合能力和分析解决问题的能力。创新研究性实验，即对研究过程和研究方法进行推广，以解决工程应用中的实际模型而设立的实验，侧重于培养学生的科学研究能力和创新能力。

4.课外作业分层次。数值分析课程课外作业布置的原则是兼顾学困生和优等生，使学困生“吃得了”，优等生“吃得饱”。对基础班的课后作业，只要求完成划定的基础练习题，针对各章的重要数值算法，布置相应的课后作业。对递进班学生，不仅要完成基本训练题，还要完成专门制定的有代表性、变形的习题和各章的重点思考题。同时在数值分析课程网页上一些课程难题，供学有余力的学生思考，鼓励学生发挥他们的潜能。也可以尝试布置不同形式的课后作业。例如对于基础班的学生，可以布置关于教材的比较报告。老师选定几本具有代表性的教材，要求学生根据选定教材中的某一章，通过阅读进行分析对比，写出总结报告。通过这种类型的课后作业的布置可以培养数学基础稍差学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力，逐渐培养他们学习数值分析课程的兴趣，同时可以深化学生对课程内容的理解和掌握。对于递进班的学生，可以让其以小论文的形式提交课后作业。精选一些重要数值算法，由教师提供具有工程应用背景的小案例，让学生运用所学到的方法构建数学模型，进行数值求解，并上机实验得出数据，进而写出小论文。这种教学方式既可以提高学生自主学习的能力和创新能力，又能考核学生掌握知识的能力、归纳总结能力和文字表达能力。

三、分层次教学实施过程中应注意的问题

1.教师应该充分理解分层次教学的意义，注重教育资源的公平分配。在关注各层次学生学习状况时更应该注意关心学习能力较差的学生，可以在每周的固定时间固定地点安排答疑，或者利用双休日安排专门课时为这些学生补课，帮助他们克服数值分析学习中的障碍，促进他们取得数值分析学习的进步，进一步减少不及格率。

2.数值分析分层次教学应该注意制定不同的评估考核标准。因为学生在学习的过程中，所处的层次不同，对学习付出的精力也是不同的。对于不同层次的学生，相应的考核成绩所对应的总评成绩应该有所差异。对此可以制定出不同难易程度的试卷，对于基础班学生的考核，应该重点考查其基础知识的掌握情况，而对递进班学生则要考查其对各种数值算法的综合理解能力及其分析应用能力。通过分层次考核方式，对不同层次的学生予以合理的综合评估。

3.有针对性地加强师资队伍建设。分层次教学的原则是因材施教，因此对教师的要求更高，工作量也更大。可以安排青年教师学习国内高校其他学科或课程分层次教学的成果经验，并开展一系列针对分层次教学的教研活动。担任各层次教学的教师要充分了解和熟练掌握相关层次教学方法手段，大胆尝试新的教学方法和手段，充分调动学生学习数值分析课程的积极性和主动性，充分发挥分层次教学的效果。

数值分析作为大学信息与计算科学和数学与应用数学专业的一门重要基础课程，目前国内很多学者也对该课程的教学改革进行了很多积极有效的改革探索[6，7]。然而，针对这门课程进行分层次教学模式的研究较少。本文针对数值分析课程的特点，对该课程进行分层次教学进行了一些有益的探索，提出了一些具体实施建议和实施过程中应该注意的几点问题。当然，在具体实施分层次教学过程中还会碰到很多现实的困难，需要在实施试点班改革的基础上，不断完善学生主体层次标准划分的指标体系和教学管理体制，以真正达到分层次因材施教的目的。

参考文献：

[1]于希山.分层次教学模式的研究与实践[D].大连：辽宁师范大学，硕士学位论文，2005.

[2]包立平，高文斌.高等数学分层次教学模式的探索[J].杭州电子科技大学（社会科学版），2009，5（3）：57-60.

[3]陈萍.概率与统计分层次教学的实践与认识[J].江苏省现场统计研究会第九次年会论文集，2004.

[4]张培红，王晓华.流体力学课程分层次教学模式研究[J].沈阳建筑大学学报（社会科学版），2007，9（2）：238-240.

[5]邢培旭.线性代数课程分层次教学研究初探[J].轻工科技，2012，（11）：171-172.

[6]万中，韩旭里.《数值分析》课程教学的新认识及改革实践[J].数学教育学报，2008，17（2）：65-66.

[7]闵杰，李义宝，高校《数值分析》课程组合式教学方法探索研究[J].高教论坛，2010，6（6）：72-74.

基金项目：中国电子教育学会教学研究项目（ZDJ11214，ZDJ11213）；广西高等教育教学改革工程项目（2013JGA142）

作者简介：李姣芬（1984-），男，湖南湘潭人，副教授，博士，主要从事数学教学与科研研究。