一种新的Vague集相似度量及在模式识别中的应用

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摘要:相似度量是研究Vague集的一个关键技术,目前虽有很多学者提出了一些相似度量的方法,但是对在连续论域下的研究甚少.介绍了一种在连续论域下求Vague集贴近度的一种新方法,并且证明了它是满足Vague集贴近度的公理化定义的,最后以实例说明其在模式识别中的应用.

关键词:Vague集；贴近度；模式识别

中图分类号:TP391.4

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)01-0071-03

A New Similarity Measure and its Application to Pattern Recognition

YANG Lijun,WANG Yuanliang

(College of Information, Yunnan University of Finance and Economics, Kunming 650221, China)

Abstract:

Similarity measure is one of the most important technologies in vague sets. Though some similarity measures have been proposed, there is little research on continuous universe of discourse. This paper introduces a method of similarity measure between vague sets on continuous universe of discourse, which can satisfy the axiom definition of similarity measure between vague sets. Finally, an example is given to illustrate its application to pattern recognition.

Key words:

vague set; similarity measure; pattern recognition

0 引言

Zadeh在1965年首先提出了Fuzzy集理论［1］,在随后的几十年中获得了快速的发展,然而在不断的深入研究中,人们发现模糊集的隶属函数值是一个单一的值,它不能同时表示支持和反对的证据,为了克服这种对信息描述的不充分性,1993年,Gau和Buehrer等人提出了模糊集合论的一种拓广形式Vague集理论［2］.该理论为:论域X上的一个对象x与论域X上的Vague集V的关系,可以通过一个真隶属函数tv(x)和一个假隶属函数fv(x)来表示,如果X是一个连续集,则V=∫x［tv(x),1－fv(x)］/x,X={x1,x2,x3,…,xn}是一个离散集,则V=∑ni=0［tv(xi),1－fv(xi)］/xi.这里［tv(xi),1－fv(xi)］［0,1］,若［tv(x),1－fv(x)］=［0.5,0.8］,即tv(x)=0.5,fv(x)=0.2,在投票模型中的解释为：有5票赞成,2票反对,3票弃权.可见Vague集理论在这一方面处理的能力是传统模糊集理论所不可及的.

论域X为离散的2个Vague集的贴近度已经有很多研究成果如文献［3-8］,然而对于论域X为连续的2个Vague集的贴近度的研究还处在起步阶段,国内外还没有这方面的研究,本文提出了一种求论域X为连续集的2个Vague集的贴近度的方法.最后以一个例子说明它在模式识别中的应用.

1 连续Vague集的表示方式

如果论域X是一个连续集,则V=∫x［tv(x),1－fv(x)］/x,其中tv(x),fv(x)都是变量x的函数,他们满足如下关系0≤tv(x)≤1－fv(x)≤1.

2 Vague集相似度量公理化定义

定义1 记Vs(x)表示X域上Vague集的全体,称函数S:Vs(X)×Vs(X)［0,1］为Vague集A和B之间的相似度量,如果它满足如下条件：

1) S(A,B)=S(B,A)；

2) S(A,A)=1；S(A,B)=0当且仅当VA(x)=x［0,0］,VB(x)=［1,1］或VA(x)=［1,1］,VB(x)=［0.0］；

3) 若ABC,则S(A,C)≤min［S(A,B),S(B,C)］.

杨力军,王元亮：一种新的vague集相似度量及在模式识别中的应用

3 一种求论域为连续的Vague集贴近度的方法

从投票模型看,［tv(x),fv(x)］反映了3部分的信息:赞成数、反对数、弃权数.因此要度量2个Vague集之间的相似性,应同时考虑到这3部分的信息,如果函数tv(x),fv(x)为可积函数,为此我们给出如下定义:

S(A,B)=2a+b+ca∫+∞-∞(tA(x)∧tB(x))dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tB(x)dx+b∫+∞-∞(fA(x)∧fB(x))dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fB(x)dx+

c∫+∞-∞(hA(x)∧hB(x))dx∫+∞-∞hA(x)dx+∫+∞-∞hB(x)dx.

其中hv(x)=1-tv(x)-fv(x)代表未知部分,在投票模型中代表弃权数.a,b,c≥0是权值,代表3个部分所占的比重.

当a=b=1,c=0时,贴近度的公式可以定义为：

S(A,B)=∫+∞-∞(tA(x)∧tB(x))dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tB(x)dx+∫+∞-∞(fA(x)∧fB(x))dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fB(x)dx . （1）

命题1 定义的S(A,B)满足定义1.

证明 条件(1)(2)都是很明显的.

(3)若ABC,则tA(x)≤tB(x)≤tC(x)且fA(x)≥fB(x)≥fC(x),那么：

S(A,C)=∫+∞-∞tA(x)dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tC(x)dx+∫+∞-∞fC(x)dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fC(x)dx ,

S(A,B)=∫+∞-∞tA(x)dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tB(x)dx+∫+∞-∞fB(x)dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fB(x)dx .

由条件可知,∫+∞-∞tA(x)dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tC(x)dx≤∫+∞-∞tA(x)dx∫+∞-∞tA(x)dx+∫+∞-∞tB(x)dx和∫+∞-∞fC(x)dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fC(x)dx≤∫+∞-∞fB(x)dx∫+∞-∞fA(x)dx+∫+∞-∞fB(x)dx,则S(A,C)≤S(A,B).同理可证S(A,C)≤S(B,C).

4 实例分析

例1：设论域X=［0,100］,有3种定义在X上的已知模式,他们具有如下特征： A1(tA1(x),1-fA1(x)),A2(tA2(x),1-fA2(x)),A3(tA3(x),1-fA3(x)),如图1所示,

其中tA1(x)=3x400,1-fA1(x)=x200+12,tA2(x)=x200,1－fA2(x)=x100,tA3(x)=x400,1－fA3(x)=x100.

B 是一个待识别样本,其Vague集特征描述为：B(tB(x),1－fB(x)),其中tB(x)=3x400+14,1－fB(x)=x400+34.请问样本B到底应该归属于哪种模式？

解：按式（1）计算可得B和Ai之间的相似度量结果如下：

S(A1,B)=0.71,S(A2,B)=0.53,S(A3,B)=0.37.

根据择近原则,样品B应该属于模式A1.由图2也可很直观的看出B和A1最相似,B和A3相差最大.这和计算结果是吻合的,B和A1的相似度是71%,最相似；B和A3的相似度是37%,相差最大.

5 结语

连续论域Vague集之间相似程度的研究是Vague集研究的关键技术之一,在这方面的研究不是很多,本文提出了连续论域的2个Vague集的贴近度的求法,并加以证明,如何寻求一个合理有有效的方法是我们研究的课题之一,对模糊信息的应用还应该进一步研究［9］,这些度量方法的提出为模式识别、决策分析等领域提供了新的解决问题的方法和工具.

参考文献:

［1］ZADEH L A. Fuzzy sets［J］. Information and Control, 1965, 8 (3) :338-353.

［2］ GAU W L, BUEHRER D J. Vague sets［J］. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics,1993,23(2):610-614.

［3］CHEN S M., YEH M S, HSIAO P Y. A comparison of similarity measures of fuzzy values［J］. Fuzzy Sets Syst. 1997,72 (1) :153-158.

［4］HONG D H. A not on similarity measures between vague sets and between elements［J］. Information Sciences. 1999, 135:83-86.

［5］CHEN S M. Measures of similarity between vague sets［J］. Fuzzy Sets and Systems. 1995, 74 (2) :217-223.

［6］CHEN S M. Similarity measures between vague sets and between elements ［J］. IEEE Trans SMC-B, 1997,27(1):153-158.

［7］黄国顺,刘云生. Vague集相似度量及其在模式识别中的应用 ［J］.复旦大学学报:自然科学版, 2004, 43 (5) :869-873.

［8］范九伦. Vague值与Vague集上的贴近度［J］.系统工程理论与实践，2006(8):95-100.

［9］杨微,齐亚锋,钟嘉玉,等. 基于模糊综合评判的课程评价方法［J］.云南民族大学学报:自然科学版,2004,13(4):320-324.