例谈数学新课堂对数学思想的渗透

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【摘要】 数学教学应以数学思想为核心，通过解题渗透数学思想，达到应用数学思想于生活的目的.

【关键词】 数学思想；数形结合；化归思想；方程思想；分类思想

一、数形结合思想的渗透

数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象. 它们在一定条件下可以互相转化. 两个元素“你中有我，我中有你”，这种联系密切地把数和形结合在一起，因此，要树立数形结合的思想，利用“以形助数”的方法，达到化难为易、化繁为简的目的.

1. 解绝对值不等式时：绝对值不等式为我们提供了一个很好的数形结合的时机，众所周知，绝对值的几何意义是距离，|x| = |x - 0|可以看成动点到原点的距离，|x| ≤ 5就是动点到原点的距离小于等于5，由此，学生通过数轴很容易看出-5 ≤ x ≤ 5，学生通过数轴把数和形进行了统一，并以形助数，得到正确解答. 这样学生也不难理解|x - 2| < 3，是动点到2的距离小于3，通过数轴观察，也不难得出-1 < x < 5，从而不难理解|x - a| < b（b > 0）的解是-b + a < x < a + b. 教师再进行|x| > b（b > 0）的一系列题目的跟进，学生也会得出|x - a| > b（b > 0）的正确解答.

2. 二次函数系数关系时：

例1 已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像如图1所示，下列结论中：① abc > 0；② b = 2a；③ a + b + c < 0；④ a - b +c < 0. 正确的个数是（ ）.

A. 4个 B. 3个

C. 2个 D. 1个

这样的题目看起来简单，但是对于学生还是比较难，难就难在学生不会读图，也有个别学生不知道③④要考什么，只有经过反复锤炼，才能使学生加深认识，了解这种题目要考什么，要如何解决.

3. 求极值问题时：函数为数形结合提供了很多素材，特别是函数求极值问题，更是为教师渗透数形结合思想提供了大好时机.

数形结合思想在数学中应用较多，它是代数与几何连接的桥梁，让学生掌握数形结合思想，通过以形助数，会使代数问题简单而形象化.

二、化归思想的渗透

化归是一种重要的数学思想，同时也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的思维方式. 所谓的化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化到能够解决的问题. 化归的目的是：生疏化熟悉，复杂化简单，抽象化直观，含糊化明朗.

1. 解分式方程时：分式方程的解法是利用化归思想的典型，首先把分式方程通过去分母化成整式方程，然后，通过因式分解将高次方程化为低次方程，最后化成一元一次方程来求解.

2. 求某些角的三角函数值：三角函数也给化归思想提供了素材.

本解法通过“截短”，把要证得的线段和巧妙地化归到线段AC上. 也可通过“增长”把要证的线段移到DC延长线上去.

化归思想是数学的基本思想，广泛应用在数学问题的解决上，所以，对化归思想时时渗透，会使学生在数学上游刃有余.

三、方程思想的渗透

方程思想是利用方程解决现实生活中的问题. 它是方程的应用，也是对方程概念本质的认识，是通过分析数学问题中变量间的等量关系构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题. 渗透方程思想就是要使学生善用方程和方程组观点来观察处理问题. 方程思想是动中求静，变化中寻求不变的等量关系. 当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并根据方程的性质来进行研究问题，以达到解决问题的目的.