形变质不变

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变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一. 代数变换是同学们熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，变换的目的在于揭示那些形式不同但实质相同的三角函数式的内在联系，利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查.

一、知识体系

同角三角函数关系式、诱导公式、两角和差的公式、二倍角公式及其综合应用.

三角恒等变换是三角函数的基础，是一种重要的数学能力，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，同时要注意对公式的正用、逆用以及变形运用的训练，要在灵、活、巧上下功夫，以增强变换意识.

二、核心解读

1. 三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明. 对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式，如平方差公式、立方差公式等. 对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，才能在解题时真正达到运用自如，左右逢源的境界.

2. 在运用三角公式进行三角变换时，要从函数名称和角的差异两方面综合分析，再从差异的分析中决定公式的选取. 一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.

三、近几年高考命题特点

1．考查题型以选择、填空为主，分值约占5%，10%，基本属于容易题和中档题.

2．重点考查两角和与差的三角公式和倍角公式等，其中对倍角公式灵活运用的考查是高考的热点.

四、2011年高考真题再现

考点1考查同角三角函数关系

（1）应用同角之间的平方关系、倒数关系和商数关系解决三角函数的求值、化简、证明等问题；

（2）已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值.

例1（2011年全国理科卷）已知∈，，sin= ，则tan2=__________.

评析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考点2考查诱导公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函数值是化简的主要工具. 使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；

（2）将不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出现时，则要分k为奇数和偶数讨论）；

（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了，特殊角能求值则求值；

（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等.

例2(2011年辽宁理科卷)设sin= ，则sin2=_________.

评析本题考查了二倍角公式等三角函数知识.

sin2=cos=2sin2 1=2

易错提醒利用同角三角函数关系、诱导公式时，容易出现符号错误.

考点3考查两角和、差公式

两角和、差的三角函数公式是高考热点之一，其题型既有小题(选择题、填空题)，也有大题(靠前的解答题)，主要是容易题和中等题. 重点是考查基本公式的应用和恒等变换思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

评析因为+= ，所以cos =cos=coscos+sin ・sin= == .

技巧点拨解题的关键在于把“所求角”表示为“已知角”. ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”只有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；③常见的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考点4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函数

若函数f （x）的解析式通过三角恒等变换可转化为f （x）=asinx+bcosx+k的形式，则函数f （x）的解析式可化为f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）设f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 对一切x∈R恒成立. 有以下结论：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a,b）的直线与函数f （x）的图像不相交. 以上结论正确的是 _____________(写出正确结论的编号).

评析先将f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0变形为f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤对一切x∈R恒成立，得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤对一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正确；

②==2bsin，故②错误；

③f （x）≠±f （x），故③正确；

④因为b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④错误；

⑤因为a=b>0，要使经过点（a,b）的直线与函数f （x）图像不相交，则此直线与x轴平行，又f （x）的振幅为2b>b，所以该直线必与f （x）图像有交点，故⑤错误.

答案：①③.

考点5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值以及恒等式的证明，是高考的热点.

注意以下几组常见的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用，从右到左起到一个缩角升幂的作用.

例5(2011年江苏卷)已知tan=2，则的值为__________.

评析因为tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因为tan==2，解得tanx= ，所以的值为.

考点6考查综合应用

三角函数的化简求值是常考题型. 它往往出现在小题中，或者是解答题中的一问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质，着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）设函数f（x）=tan2x+，设∈，若f =2cos2，求的大小.

评析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）・（cos+sin），又因为sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命题趋势

1. 考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；

2．考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；

3．考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都在大题中进行考查；

4．解答题属中、高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活和“能力立意”的命题趋势.

1．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=_________.

2．若tan=3，则的值等于_________.

3．已知sin=+cos，且∈，则的值为___________.

4．函数y=sincos的最大值为_____.

1．.2． 6.3．.4．.