寻找魔方的上帝之数

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几乎从魔方的诞生之日起，某些人就一直在寻找一个神秘的数字――复原任意一个魔方所需的最少步骤――上帝之数。

阿克斯戴克（Erik Akkersdijk）手里握着他的魔方，静止着不动。四周围满了人，目光都聚集在他的手上。离得近的人能看清几个边块、角块和棱块的排列，暗自琢磨着最快的解法。也就等了几秒钟，阿克斯戴克把手上的魔方放下，双手同时按下边上的计时器，再利落地拿起魔方，似乎只是随便转动了几下，6 个面居然就对出来了，只有7.08 秒！房间里一片欢呼，这是2008 年7 月，一个新的魔方速度纪录在捷克公开赛上诞生了。

阿克斯戴克是魔方世界中的“快派”，追求在半分钟甚至10 秒内解决一个被打乱的魔方。如果你对魔方有一知半解，那么就只知有快派。事实上，在魔方世界中还有另外一派。这一派的历史可以回溯到20 世纪80 年代初，魔方刚刚在全世界风靡的时候。从那时起，他们就开始寻找一个神秘的数字――魔方的上帝之数。确切地说，如何以最简单的步骤破解一个处于“最乱状态”的魔方。

上帝的套路如何

1980 年，匈牙利讲师埃尔诺• 鲁比克（Erno Rubik）发明的“魔术方块”开始在欧美畅销，几乎成为人手一个的玩具。与此同时，一些人开始研究魔方。像阿科斯戴克这样的急速玩家（Speed-cuber），想要在10 秒钟内解开一个魔方，其实有一定的套路。这就好像武林中人，如果不把对方的这种套路给你讲明白，即使把一个动作反复地在你面前重放，你仍然搞不清对方在做什么。魔方的套路就是公式。掌握公式就等于摸清魔方的规律。这方面道行最深、辈分最高的要数杰西卡• 弗里德里希(Jessica Fridrich)，纽约州立宾汉姆敦大学的教授。1982 年，弗里德里希首创了一种“中间站”技术。她发现在破解魔方的过程中存在一些特定的状态，比如，在魔方的一面上以红色方块组成一个红色的十字叉形状。而不管手里的魔方怎么乱，总能在7步之内把方块摆成这样。有了这个中间步骤，弗里德里希在此基础上发明了一系列公式。记忆这些公式，能够平均在56 步之内解开任何一个魔方。

56 算是上帝之数的最初解。不过弗里德里希发明公式的时候，这种叫法还没开始流行。公式为此后研究上帝之数的人提供了基本的策略，但上帝之数的名字不是她起的。同一年，亚历山大• 弗雷(Alexander H. Frey, Jr.) 与大卫• 辛格马斯特(David Singmaster) 两个“方块儿（Cuber）” 写了一本《魔方数学手册》(Handbook of Cubik Math)，第一次提出存在一个“上帝的数字（God`s number）”，无论多乱的魔方，都可以在一定的步数内解开。而之所以叫上帝之数，据说是因为上帝做事总是力求简洁。他们在书中证明这个数字介于17 到52 之间，同时还猜测，上帝之数也许是20。

在计算的时候，弗雷与辛格马斯特借鉴了中间站技术。他们找到一种中间状态，计算从任意混乱状态到中间态所需的步骤，这不难。之后要做的就是从中间状态找到最优解。前后的步骤数相加，就得到一个上帝之数的上限值，加上一个估计得出的下限值，弗雷和新格马斯特就把数字锁定在一定的范围之内。这样的计算需要不止一个中间站，他们有必要找出成百上千乃至上百万种中间状态。这是因为，即使一个拥有54 个色块的普通的标准3 阶魔方也能组成多达43×1018 种状态。

这无疑增加了寻找上帝之数的难度。为了解决这个问题，1992 年，德国人赫伯特• 科齐姆巴（Herbert Kociemba）想出一个点子。他总结出转动魔方的10 个动作，发现用这10 个动作的排列组合就能够将一个排列完好的魔方转出约200 亿种状态。科齐姆巴的发现简化了上帝之数的求解。他通过反向思维找到的200 亿种状态，无疑就是200 亿个中间站，而从中间站到完美求解之间的步骤，都是他自己排列出来的，当然就在这10 步之内。他列出一张表格，将自己求得的结果罗列其中，在此基础上编制了一个叫方块探索者（Cube Explorer）的程序，专门用来计算从任意混乱状态到200 亿个中间站所需的步骤。1995 年，美国奥兰多中佛罗里达大学的迈克尔• 里德（Michael Raid）通过一套与Cube Explorer 相似的程序推算出上帝之数是30。

然而大多数人不太相信里德给出的答案。很多人仍坚信弗雷与辛格马斯特最初所猜测的上帝之数，20。而科齐姆巴的程序也确实有一个问题，那就是如果遇到10 个规定动作之外的情况怎么办。比如，拿一个排列完好的魔方来只转一下，但是这个动作却不在10 个动作之内。科齐姆巴的程序只认可10个标准动作和200 亿个中间站。

始终如一的运算难题

于是又过了10 年。2007 年，美国东北大学计算机科学系的研究生丹• 昆克（Dan Kunkle） 和教授吉恩• 库珀曼（Gene Cooperman）用20 台每秒1 亿次，拥有7tb 存储器的计算机以及新的算法准备再次挑战上帝之数。他们设计了一个新的平行演算法，在不可思议的整整8000 个小时的运算之后，得到了一个新的结果，26。昆克和库珀曼的结果让魔方界很兴奋，因为10 年来，在寻找上帝之数方面，数学家们一直没有大的突破。但在兴 .之余，两个人在装备上的瓶颈开始凸显出来。在经过漫长的疯狂运算之后，两个人的电脑已经累得吐血。但想要得到更精准的数据，他们还需要更强的电脑以及上千小时的额外运算。在没有条件搞到新设备，也没有更多时间的情况下，两个人再也无能为力。上帝之数的终解好像暂时停留在了26。

托马斯• 罗齐（Tomas Rokicki）就是在这时得手的。作为一个骨灰级的方块儿，斯坦福大学的罗齐早从15 年前就开始寻找上帝之数。在奥地利数学家拉杜（Silviu Radu）的帮助下，罗齐在科齐姆巴当年设计的Cube Explorer 程序的基础上改进了上帝之数的算法。科齐姆巴的程序是对每一种混乱的状态都进行多次计算，每次找出一条可能的路径，然后从多次的结果中选出一条最简短的路径。罗齐发现这其实就是关于一类有关联的状态的运算，于是决定充分利用这一点。

罗齐将整个上帝之数问题分成20 亿个部分，每部分都包含大约200 亿种有关联的状态。罗齐的程序每次只对20 亿份中的一份进行运算。而时间“大概花去了25 分钟”。2008 年3 月，罗齐得到了新的上帝之数，25，并将结果发表在著名的论文预印本网站arXiv 上。

走到这一步，罗齐同样遭遇了设备上的瓶颈。但幸运的是，他的研究受到了另一个人的关注。

索尼图形图像工作室是一家专门制作视觉特效的公司，曾经为影片《蜘蛛侠3》和《我是传奇》制作过电脑动画。该公司的软件工程师约翰• 威尔伯恩（John Welborn）在网站上看到了罗齐的论文，就立即按照上面的地址联系罗齐，表示愿意把公司数百台电脑的空闲时间都借给他。这可帮了罗齐的大忙。经过断断续续的运算，2008 年4 月，罗齐和威尔伯恩将上帝之数的上限精确到24，两周后又精确到23。

想要进一步证明上帝之数最终为20，还需要进行比目前多数百倍的运算。“即使用目前世界上最快的计算机，也需要运算38 天，”对自己的研究有幸能用上超级计算机，托马斯• 罗齐还不敢奢望。而索尼方面也不再准备继续帮助罗齐了。看来，如果没有人找到一种新的捷径来帮助运算，那么可能在相当长一段时间内，上帝之数的答案就不可能比23更接近20。

Tips：

鲁比克的方块

20 世纪80 年代初，匈牙利布达佩斯工艺美术学院的讲师埃尔诺• 鲁比克（左图）发明了魔方。其实在鲁比克的魔方进入西欧和美国市场前，已经有类似的玩具注册了英国和美国的专利。但是这都不能阻挡人们把它称之为“鲁比克的方块”。

基本窍门：

6 个中心块的相对位置保持不变。拆开一个魔方就会发现，它的骨架就是一个由6 个中心块构成的xyz 坐标系。

玩魔方的各种流派

普通玩法

这类玩法适合拿魔方当作放松和娱乐的爱好者。他们通常仅仅满足于复原一个魔方，不

会追求更高的标准。

竞速玩法

世界上大多数魔方高手使用的方法都是杰西卡• 弗里德里希发明的。竞速复原有几个要点：使用的方法要最简便，但是随之产生的问题是步骤越少，需要记忆的公式就越多；拥有方法和好的魔方不是最重要的，双手能够熟练的转动魔方才能有最高的效率。

最少步骤还原

最为艰难的玩法。在这种玩法或者比赛中，不能转动魔方，只能用眼睛观察魔方的状态，然后思考出最少的步骤来解决魔方。目前的世界纪录是28 步还原，耗时两个半小时。

盲眼玩法

称作盲拧或称盲解。其定义就是不用眼睛观看魔方，进行复原的过程。计时是从第一眼看到魔方开始的，也就是说记忆魔方的时间也算在总时间内。这种玩法对一个人的记忆力和空间想像力有极大的考验。目前世界纪录为波兰人Rafal Guzewicz 创造的54.22 秒。

单手玩法

即以单手转动魔方进行复原，或称单拧。目前世界纪录为法国人Thibaut Jacquinot 创造的15.81 秒。