曲线切线的错因及纠正

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有关曲线（含函数图像）的切线问题，是直线与曲线位置关系中一种常见又是极为重要的位置关系。分析其产生，形成和发展运用，是正确掌握曲线的切线这一知识的有效途径和手段。

关于曲线的切线的论述，在中学的数学教课书中有下面几处。

人民教育出版社·数学·九年级上册：直线和圆有一个公共点时，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线（tangent line），这个点叫做切点。

人民教育出版社A版·数学·必修2：判断直线l与圆C的位置关系有两种方法，一种方法是，判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解，如果有解，直线l与圆C有公共点，有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离。另一种方法是：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系，如果dr,直线l与圆C相离。

人民教育出版社A版·数学·选修2-2：我们发现：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线（tangent line）。值得注意的问题是过点P的切线的斜率k=f′(x0)。

人民教育出版社A版·数学·选修4-1：直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点，称直线与圆相切；直线与圆没有公共点，称直线与圆相离。

这些有关曲线的切线的叙述中，针对圆的切线(特定曲线的切线)有3处，这些叙述具有特殊性，它们有共同特点——强调切线与圆只有一个公共点。人民教育出版社A版·数学·必修2的叙述中指明了求切线的方法——代数法和几何法。只有一处即人民教育出版社A版·数学·选修2-2的定义是针对函数图像（曲线）的切线问题，具有普遍性。不管哪种定义，一个共同特点是强调切点。

圆的切线的定义，指明了求解圆的切线问题的方法，这在高中教材中有很好的体现。学习掌握这一知识及运用这一知识解决圆的切线问题，效果很好。从而，关于曲线的切线知识的学习及掌握，运用知识解决问题的方法都可以类比联系圆的切线的学习方法进行。由圆的切线定义及求解方法推广到曲线的切线定义及求解方法的问题上，形成直线与曲线有一个公共点时，该直线为曲线在公共点处的切线这一认识。这种结论是否正确，下面进行证明。

问题：直线L：y=-■x+m(m≠0)与双曲线C：■-■=1(a>0,b>0)，只有一个交点，讨论直线L能否为双曲线C的切线？

分析：不妨讨论直线L与双曲线C在x轴上方相交时的情况。

y=■■且m＞a。

把直线L的方程y=-■x+m(m≠0)代入曲线C的方程■-■=1，整理得：

2abmx-a2b2-a2m2=0，x=■ ，为交点P的横坐标。

取y=■■，得y′=■·■=■，所以点P处的切线的斜率：

点P处的切线的斜率不是直线L的斜率，故点P处的切线不是直线L。

从上面的证明中发现，由求圆的切线方程的方法——直线与曲线只有一个交点时，直线为曲线的切线。对双曲线与直线的位置关系而言是错误的，如上面的问题中的直线L：y=-■x+m(m≠0)并非为双曲线■-■=1的切线。这样，我们必须澄清一个错误的认识——直线与曲线只有一个交点时为切线。教材中明确是对圆进行定义的，也就是说直线与圆只有一个交点时，直线为圆的切线，这种判断是正确的。但对其它曲线的切线判定，也用圆的切线定义进行判定，把个性（圆的切线）推广到共性（曲线的切线），从逻辑上来说是不正确的。

通过对圆及椭圆的切线问题的分析，并对切线和曲线的位置关系的认识，使我们形成了这样的认识：曲线的切线与曲线分别在切点的各一侧，也就是说曲线的切线不能“穿过”曲线。这种从圆和椭圆的切线问题中归纳得到的结论，不加证明就推广到其它曲线与它的切线也存在这样的结论，犯了逻辑上的错误——不完全归纳法得到的结论有待证明。事实上，从解析几何知识知道，切线是割线PQ，当Q(x，y)沿曲线趋近于P时的极限位置，曲线与它的切线是否在同侧没有关系。