“1”从哪里来

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一、 疑团呈现

植树问题是一个典型的数学问题，现行人教版教材把它作为数学广角的内容编入四年级下册。教学中很多教师对于“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”这样三种情况的区分予以了特别关注，为了提高解决问题的正确率，他们往往要求学生牢牢地记住相应的“计算公式”（“加1”“不加不减”“减1”），但实际情况却并非教师想象中的那么顺利与简单。

【现象一】

在“两端都栽”的情况下，研究间隔数与棵数的关系。学生经历了操作、验证后，大部分学生回答：间隔数+1=棵数。

师(小结)：好，我们就可以用“间隔数+1=棵数”的方法来解决“两端都栽”的植树问题，请大家尝试解决以下问题。

教师出示下列问题：

1.在一条全长2千米的街道一旁安装路灯（两端都安装），每隔50米安装一座。一共要安装多少座路灯？

2.园林工人在一条长36米的公路一侧植树（两端都栽），每隔6米种一棵，一共种了多少棵？

3.一条长500米的街道两边，每隔10米插一面彩旗，从头到尾一共要插多少面？

【学习效果】

【现象二】

在教学了植树问题关于“两端都栽”“两端都不栽””只栽一端”三种情况后，教师组织了以下练习：

为庆祝“六一”儿童节，学校布置环境：

1.老师带领学生沿校门口街道的一边挂灯笼，街道全长200米，每隔4米挂一盏，从头到尾一共要挂多少盏？

2.绕操场插彩旗，操场的周长是200米，每隔4米插一面，一共要插多少面？

3.沿着学校教学楼到科技楼的小路两边摆花盆，小路全长200米，每隔4米摆一盆，一共要摆多少盆？

4. 小朋友在学校大门口手捧鲜花排成横队迎宾，每隔3米站一个，一共站了36个。从第一个到最后一个的距离有多远？

【学习效果】

类似的数量关系，不同的植树情境，大部分学生在拿到题目后一片茫然，机械的数量关系公式在不同的植树情境中不能灵活应用，对于“加1、不加不减、减1”分不清了，正确率与第一课时的练习相比大大降低（见表2）。

二、 归因释疑

上述现象中，教师可以发现：学生在学习了第一课时“两端都栽”的植树问题后，解题正确率比较高。第3个问题的正确率虽然不高，但是学生错在审题不仔细，没有留意“两侧”而已，而基本数量关系还是正确的。由此，教师误以为已经达成了这一课时的教学目标。但在学生学习了植树问题的不同情况后，在教师组织综合练习时，却出现了比较严重的问题，题目中没有明显地表示出“两端都栽”“两端都不栽”“只栽一端”等提示语，对于具体情境中的“1”怎么处理，学生模糊不清，成为该单元教学中的难点。究其原因，症结在于学生对“为什么加1”没有内化。

（一）教师自身对“1”不理解

“1”到底指的是哪棵树？其实教师都知道植树问题分为两种情况，即直线上的植树问题与环形上的植树问题。直线上的植树问题又分成三种情况，在“两端都栽”的情况下，一端先种一棵树，一棵树对应一个间隔，再种一棵对应一个间隔……n棵树对应n个间隔，最后一棵树没有对应的间隔，因此要加的这个“1”就是最后那一棵树，所以在两端都栽的情况下求树的棵数要间隔数加1……。如下图所示。

也可以看成：当种下第一棵树时，没有间隔，然后是一个间隔对应一棵树，n个间隔对应n棵树，这个1就是第一棵树，所以在两端都栽的情况下求树的棵数要间隔数加1。如下图所示。

综上所述，在“两端都栽”的情况下，“间隔数+1”中的“ 1”指的是直线上首或尾的那一棵树。从图中也可发现，在“两端不栽”的情况下，就是首尾都不种，植树的棵数等于“间隔数-1”。在“只栽一端”的情况下，一个间隔正好对应一棵树，所以植树的棵数等于间隔数，不加也不减；而在环形上植树，可以看做首尾两端相连，重合成了一棵树，相当于“只栽一端”的情况。这就是植树问题中的“加1、不加不减、减1”的根据，很多教师没有深入地去思考，所以学生也就不明白“1”从哪里来。

（二）没有组织学生体验“1”从哪里来

在教学“两端都栽”的过程中，教师仅把操作结果让学生进行机械记忆，没有内化“1”的属性。上述教学片段中，教师可以发现学生能够根据操作找到这类植树问题的规律“棵数＝间隔数+1”，但在运用这个规律求路长时却遇到了较大困难，正确率很低。尤其是到了综合练习时，学生解决问题的思路混乱，正确率更低。教师以为学生根据“棵数与间隔数之间的关系”就能解决问题了，实际上这只是部分学生具备了继续学习的能力，而在发现规律与运用规律间缺少了必要的联系与沟通，其根源还是在于学生对为什么加“1”不理解。“一一对应”的数学思想，在学生的大脑中几乎一片空白，所以对于“1”从哪里来，对于具体情境中的“1”怎么处理，学生更是模糊不清。

三、实践破疑

鉴于上述分析，在植树问题第一课时的教学时，教师就要让学生充分体验、理解“1”的含义，构建植树问题中“两端都栽”的数学模型。对此笔者再次挖掘教材的数学内涵，对本课进行了第二次教学实践。

（一）“植树”活动，初步体验要“加1”的规律

在“两端都栽”的情况下，组织学生研究“间隔数与棵数”的关系。在猜想阶段，大部分学生都认为“间隔数+1=棵数”。但这仅仅是学生的课外学习经验所得，基本上是家长或奥数课本中强加于学生的机械公式，学生没有真正体验过这个规律是怎样得来的。于是笔者就设计以下操作环节以验证学生的想法。

1.同桌合作研究：两端要栽的植树问题，棵数与间隔数有怎样的关系？

(1)在“小路”上模拟种树3次。（教师提供长短不同的小路以及树的模型作为研究的学具）

(2)把每次种树的结果画下来，记录在表中。

(3)同桌互相评一评研究成果，并交流。

同时，考虑到学生的不同学情，教师提醒学生也可以在大脑中种树，直接画一画，记录在表内。

2.交流汇报，反馈验证结果，教师根据学生的回答，板书如下：