循序渐进,引导小学生获取初步极限思想

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极限是用以描述变量在一定变化的过程中的终极状态的概念。是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。教师要在小学数学教学中针对小学生的年龄和思维特点，将现行小学教材中的极限思想有意识地进行分层递进教学，引导学生逐步感悟并获取初步极限思想。

一、从具体到抽象，感受无限延伸

现行小学教材中有许多知识点蕴含着丰富的无限延伸的情况。 如在教学奇数、偶数、 自然数等的概念时，教师可让学生感受到奇数、偶数个数的无限多个，自然数个数是数也数不完的。又如在循环小数教学中，2÷3=0.666……是一个循环小数，无限延伸，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步感受“无限”思想。

在“图形与几何”教学中培养学生的空间想象力，培养学生的无限观念也是非常重要的。如直线、射线、角的边、平行线的长度等，它们都是可以无限延伸的。这些概念是只存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，教师要引导学生经历从有形到无形体验，感受图形无限延伸，以增强在图形教学中培养学生空间想象力的效果。

例如，“射线的初步认识”教学片段。

师：请同学们在白纸上画一条2厘米长的线段，说一说它有什么特点。

生：它是直的，用尺可以量出长度，它有两个端点。

师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的直线，有什么问题?

生：不对!直线是没有长短的！

师：为什么?

生：因为直线可以向两边无限延长。

师：无限延长是什么意思?

生：就是无限的长，没完没了的意思。

师：下面请同学们仔细观察老师的演示(将红色激光电筒射向天空)，如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来。

师：这就是我们今天要学习的射线，它有什么特点呢?

生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的，上面的教学片段中，教师通过学生自己动手，建立起对线段、射线、直线认知的矛盾冲突，这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对直线、射线的无限的空间感观，真实、自然又不失严密。在我们周围的事物中，是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。学生在教师的引领下，走出有限的几何观念，形成无限的几何空间想象，极限思想在图形概念形成初期呼之欲出，为后续学习埋下伏笔。

二、从持续延伸到无限逼近，体验极限状态

由于小学生的生活经验与数学知识还比较贫乏，他们只能通过一些具体的事例，逐渐体验到什么是无限地逼近。因此，逐步体验逼近是形成极限思想的另一个重要方面。

例如，在“循环小数”的教学中，0.99……这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。为了帮助学生体验极限状态，教师让学生比较0.99……和1大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……无限逼近1。让学生体验到“0.99……”这个小数后面的“9”有无限多个，谁都数不完，但有一点是肯定的，这个数 无限逼近的终极状态就是1，但又不等于1。

又如，在教学“分数解决问题”时，在学生完成“一块面包，今天吃它的，明天吃它剩下的，还剩这块面包的几分之几？”后，教师又出了这样一道思考题：一块面包，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的……如果一直这样下去，这块面包吃得完吗？通过学生的讨论得出这样的结论：这块面包是永远吃不完的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管面包越来越小，但还是有的（只要你有耐心，灰尘大的物质都是有的）。我们只能说，这块面包最后的极限为零，但却绝不为零。为了让学生充分体验极限状态，上面的例子我们还可以引导学生用数形结合法画图帮助理解。

以上的例子，使极限理论中无限逼近的概念在学生头脑中产生了朦胧的定义。这为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，做了很好的铺垫。

三、从无限逼近到极限，“感悟”极限思想

例如我在教学《圆的面积》这一课时，学生把圆八等分，拼成近似的平行四边形时，有一个学生突发奇想。他认为将形如波浪的部分剪掉变成直线就可以求平行四边形的面积，圆的面积也就可以求了。更可贵的是，这位学生在教师的鼓励下说出了变曲为直的思想。之后，在教师的引导下，学生讨论后，得出用“无限细分”的方法可以既不改变原面积的大小，又能把曲线变直。

又如通过多媒体课件演示，把圆平均分成若干份时，有的学生会提出其中的一份有点像三角形。教师适时跟进提出：“那么有没有办法使它更像三角形”的问题。学生通过讨论得出“分的份数越来越多，且这样一直分下去就无限逼近三角形”的结论。同时，教师通过课件让学生充分感受到每个扇形的弧的形状视觉变化，即分的份数越来越多，弧就由曲变直的过程，增强形象直观感。当n无穷大时，这个小扇形可以看作是一个三角形。因为三角形的高等于圆的半径，底等于圆周长除以n，所以n个三角形的面积S= (2πr÷n)×r÷2×n =πr2。从而同样能推导出圆的面积S=πr2。从这个角度探究极限，操作方便，学生易接受，且自主性高，能有效深化极限思想。

以上计算公式的推导过程，采用化圆为方、变曲为直的极限分割思路。在观察有限分割的基础上，想象无限细分，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中获取无限逼近的极限思想。这个过程中从“分得分数越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，学生经历了从无限到极限的过程，感悟极限思想的巨大价值。学生有了这个基础，在以后推导圆柱体的体积公式时就会自然而然地想起这种方法，从而为学生的后续学习奠定基础，在不断的应用中初步获得极限思想。

在小学阶段极限思想的获取可以在着重培养学生的“无限”想象力，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念、体验无限逼近、领悟终极状态等方面下工夫，形成一个系统性的循序渐进策略。

（作者单位：福建省平潭实验小学?摇?摇?摇责任编辑：王彬）