函数的性质

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摘 要：函数的单调性是函数重要的性质之一，通过例题来探讨学习它的方法技巧，注重函数单调性的定义、运算性质、图象及其他知识的综合运用。

关键词：单调函数；单调区间；复合函数

单调函数的定义：设函数f（x）的定义域为l，如果对于定义域l内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1

由定义知单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性。

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间。

函数的单调性是函数重要的性质之一，下面通过几个例题来探讨学习它的方法技巧。

一、利用定义严格判断

函数f（x）在区间[-1，0]上的图象是连续曲线，方程f（x）=0在区间[-1，0]上有实数根。

又函数g（x）=3x，h（x）=-x2在区间[-1，0]上都是增函数，

f（x）=g（x）+h（x），

函数f（x）在区间[-1，0]上是增函数，

方程f（x）=0在区间[-1，0]上只有一个实数根。

三、利用复合函数关系判断单调性

对于复合函数y=f[g（x）]，若t=g（x）在区间（a，b）上是单调增（减）函数，且y=f（t）在区间[g（a），g（b）]或者[g（b），g（a）]上是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间（a，b）上的单调性满足“同增异减”的法则，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数。实施该法则时首先应考虑函数的定义域。

四、导数法

因此，由上表知f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）与（0，+∞）；单调递减区间是（-1，0）。

（2）f（x）=x（ex-1）-ax2=x（ex-1-ax）；令g（x）=ex-1-ax，则g′（x）=ex-a。

①当a≤1时，g′（x）>0，g（x）为增函数，x∈（0，+∞）时，而g（0）=0，

所以当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0。

②当a>1，x∈（0，lna）时，g′（x）

所以当x∈（0，lna）时g（x）

综上所述得A的取值范围为（-∞，1]。

五、图象法

函数单调性除了定义描述外，还可以从图形上描述，对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，导函数f ′（x）

函数的单调性是函数的重要性质之一，函数的单调性在比较大小、证明不等式、解不等式、求最值、求值域及实际问题中都有广泛的应用。

（作者单位 湖北省武汉音乐学院附中）