新背景下的直线与圆方程

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高考题目推陈出新，实际上只有三种：一是陈题带新帽；二是重新组合；三是往年没有考到。而直线方程与圆的方程被立为C级要求，其题可易可难，可旧可新，难在平几知识的应用，新在直线或圆与其他的组合。下面几道背景比较新颖的题目推荐给同学们。

类型一 直线上的整点问题

【例1】 在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点O与点An(n,n+3),用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(2 007)= ．

分析 求线段上的整点时必须写出直线OA2 007的方程，因为过原点，所以比较简单。关键是f(2 007)所表示的实际意义。

解 由已知可得OA2 007（2 007，2 010），直线OA2 007的方程l:y=2 0102 007x,2 0102 007=1 3401 338=670669,

直线OA2 007过两个整点（669，670），（1 338，1 340），即f(2 007)=2.

点拨 俗话说“磨刀不误砍柴工”，审题是解题的关键，审题过程中要注意一“慢”、二“细”，本题中有三个地方要注意整数点、除端点、f(n)表示的意义。

类型二 数形结合思想的应用

【例2】 已知函数f(x)=x2-4x+3,集合M={（x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={（x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N的面积是 ．

作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，即为12π•（2）2＝π．

点拨 解析几何的题目一般可以用代数法和几何法解决，当涉及到面积时都是利用数形结合的思想加以处理。数形结合思想作为一种化直观为抽象的有效工具，是高中数学的重要思想。有时做出图像后题意一目了然，解法昭然若揭。本题的难点是把代数问题转化为几何问题，找出(x-2)2+(y-2)2≤2和(x-y)(x+y-4)≥0所表示的区域。

类型三 运动中找定量的问题

【例3】 在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．

（1） 求实数b的取值范围；

（2） 求圆C的方程；

（3） 问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

分析 本题涉及到二次函数的图像与性质及圆的方程的求法。第（1）步借助曲线的位置关系求出字母b的取值范围；第（2）步由三点确定的圆C的方程仍然含有字母b；第（3）步设计的是探究性问题，蕴含了运动与静止的辩证关系。