不确定线性系统的输出反馈鲁棒H∞控制仿真

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【摘 要】针对一类具有积分二次型约束结构不确定性的系统的设计问题，提出了一种新的鲁棒H∞控制方案。从具有指定干扰抑制能力的不确定性系统的绝对稳定控制着手，通过加入额外的不确定性，构成一个新的不确定系统，然后对这个新系统设计绝对稳定的H∞控制器。

【关键词】鲁棒；控制；绝对稳定

A Control Simulation For Uncertain linear system of robust h-infinity output feedback

ZHANG Da-lei LI Yuan-yuan LIU Qian

（1.Qinhuangdao Insititute of Technology Ｈebei Qinhuangdao 066100；

2.Ziehl-Abegg Mechanical and Electrical Equipment Limited Company Ｚhongguo Ｓhanghai 201605)

【Abstract】For a class of quadratic constraint integral structural uncertain system design, this paper proposes a new robust h-infinity control scheme. Mainly from has designated interference suppression ability the uncertainty of the absolute stability control system to, by adding extra uncertainty, constitutes a new uncertain systems, and then on this new system design which isunconditionally stable h-infinity controller.

【Key words】Robust h-infinity；Control；Isunconditionally stable

工程上所建立的系统数学模型和控制系统中，在不同程度上都存在着某种不确定的因素，诸如模型参数、输入、测量误差等是未知的或不能精确地确定的等。建立系统被控对象的准确数学模型通常是不可能的，而大部分控制策略的设计又离不开系统的模型，所以在数学模型中存在某种不确定性的条件下，设计一个合适的控制器以确保系统的响应具有理想的性能，在控制论领域已经引起了广泛的关注，并且成为了研究的热点。而在控制系统中引入不确定性的数学模型可以更真实地描述出实际控制过程，并能反映系统的参数摄动和外部扰动。正因如此，研究不确定系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制问题无论在理论上还是在实际应用中，都有很重要的意义。

积分二次约束(IQC)方法起源于绝对稳定性问题的研究，特别是在利用S-过程研究非线性控制系统稳定性时，从输入输出的角度刻划非线性不确定性时引入一种积分二次不等式约束。Safonov则用反馈环路中两个算子的图的分划来对其结论作几何性解释。在过去的一段时间内，鲁棒控制领域出现和发展了大量的方法，它们中的大部分可纳入IQC的框架。因而用IQC来分析和解决控制问题成为一种重要方法。近几年，IQC方法还被广泛应用于系统鲁棒性分析。Megretski和Rantzer通过引入非因果乘子，拓广了IQC的原始描述。将基于小增益描迷的结构及非结构不确定性以及基于无源性描述的不确定性有机地结合起来，从而刻划了几乎所有现代鲁棒分析中的不确定性模式，在此基础上给出了系统鲁棒稳定性的频域判据。Megretski和Rantzer给出了一个判定系统反馈连接的稳定性的基本定理，并将以往的大量结果纳入其中。Megretski的工作使得IQC方法受到广泛关注和研究。

在系统控制过程中，控制器本身的稳定与否直接影响到整个系统，即使有些控制器表面看来可以使系统达到稳定或具有指定的功能，但是实际上，控制器的不稳定使整个系统都无法正常的工作运行。本课题所研究的新型鲁棒H∞控制方法解决了控制器不稳定导致系统无法实现绝对稳定的问题。通过对一类具有积分二次约束结构不确定性的系统设计状态反馈控制器，我们体现出了一个重要的思想就是，向不确定系统中引入新的不确定性。这个过程中，通过对原系统设计状态反馈控制器，通过状态反馈增益矩阵，对系统进行扩展，引入新的不确定性，再通过证明，对于新系统设计的输出反馈控制器同样适用于原系统。设计这样通过中间的转换，便保证了所设计的控制器自身。

由于我们的研究重点是集中在H∞控制问题上的，我们选取的这个例子的系统是一个线性时不变系统，而不是不确定系统，但是这并不会对该系统的H∞控制问题带来影响，得到的结论其实是一致的。

1.建立系统数学模型

该例子是一个混合灵敏度S/KS问题，图1为控制系统结构图。

图1中对象的传递函数为

图1 控制系统结构图

P(s)=■

权函数为

W1(s)=■,W2(s)=0.2

其中，W1(s)为灵敏度权函数；W2(s)为加性不确定性权函数，反映了对加性不确定性的鲁棒稳定性要求，也可以看为对控制信号u的幅值的约束。

H∞最优控制问题，需要求取

γopt=■■■

接下来使用matlab软件编写程序，建立系统空间模型，设置系统内各项参数。得到如下描述系统的状态方程组：

x(t)=46 -25.3125 -33.5938 -23.4375 016 0 0 0 00 4 0 0 00 ０ 2 ０ 01 -0.0625 -0.3906 0.1953 -1 x(t)+00001w(t)+10000u(t)

z(t)+0 ０ ０ ０ １0 ０ ０ ０ ０x(t)＋00．２u(t)

ｙ(t)＝［１ －０．０６２５ －０．３９０６ ０．１９５３ ０］x(t)＋u(t)

同时，可得到系统广义对象的状态空间方程组：

Ｇ（ｓ）=Ｇ１１ Ｇ１２Ｇ２１ Ｇ２２=Ａ Ｂ１ Ｂ２Ｃ１ Ｄ１１ Ｄ１２Ｃ２ Ｄ２１ Ｄ２２

其中

Ａ46 -25.3125 -33.5938 -23.4375 016 0 0 0 00 4 0 0 00 ０ 2 ０ 01 -0.0625 -0.3906 0.1953 -1

Ｂ１=00001,Ｂ２=10000,Ｃ１=0 ０ ０ ０ １0 ０ ０ ０ ０,

Ｃ２=［１ －０．０６２５ －０．３９０６ ０．１９５３ ０］

Ｄ１１=０,Ｄ１２00．２,Ｄ２１=１,Ｄ２２=０

2.状态反馈控制器设计

当γ≥γｏｐｔ＝３４．２４时，对系统所设计的H∞控制器都是不稳定的。现在，我们令γ＝４２．４，■＝０．３４，求取状态反馈控制器，带入各项参数，得到Riccati方程的解

Ｘ＝４．０００１ １．０００２ ０．３１３２ ０．０００８ ０１．０００２ ９．６２７８ ９．４５５６ ５．８５６１ －０．０３１３０．３１３２ ９．４５５６ ９．４０９３ ５．８７４０ ００．０００８ ５．８５６１ ５．８７４０ ３．７０６３ ０．０９７７ ０ －０．０３１３ ０ ０．９７７ ０．５００１

状态反馈控制器为

Ｋ＝［－１００．００１７ －２５．００５９ －７．８３０２ －０．０２０３ ０］

使用得到的状态反馈控制器进行simulink仿真，得到各状态的阶跃响应曲线上可以看出，系统的相应特性比较好，能快速的回到平衡状态。

3.输出反馈控制器设计

3.1绝对稳定输出反馈控制器设计

以上我们已经设计出了状态反馈控制器，接下来是系统输出反馈控制器的设计。依据各项参数编写程序，通过matlab计算。这其中已经包括了对原系统的扩展，对新系统的广义对象进行 算子移除处理和求取输出反馈控制器这三个步骤。设计得到的输出反馈控制器传递函数为

ｋ＝■

零极点表达式为

■

并得到γｏｐｔ＝０．９７２４。

3.2常规Ｈ∞控制输出反馈控制器

直接对系统设计状态反馈控制器，同样使用matlab软件编写程序，设计得到的输出反馈控制器传递函数为

ｋ＝■

零极点表达式为

■

并得到γｏｐｔ＝３４．２６。

下图是采用绝对稳定输反馈控制器和常规输出反馈控制器时系统的开环Nyquist曲线。

图2 Nyquist曲线

（右侧为本课题方法，左侧为一般方法）

3.3两种方法对比

将上两小节的各条特性曲线及Nyquist曲线进行对比可以看出，两条Nyquist曲线离-1点的距离差不多，所以鲁棒性也差不多。从阶跃响应曲线和频率特性曲线来看，两个设计结果也没有太大的区别，但是，用本文提出的新的方法设计的输出反馈控制器自身是稳定的，保证了闭环系统的绝对稳定和具有指定的扰动抑制能力。但是用常规的方法设计的控制器是不稳定的，这是在工程设计中所不允许的，而且工程上这样的控制器也根本无法实现，所以这个控制器是不可用的。这就体现出了本课题所研究的H∞控制方法的优越性，利用这种方法可以保证设计的输出反馈控制器自身是稳定的，并能使系统达到绝对稳定并且具有指定的扰动抑制能力。

4.结论

本文通过一个实例应用所研究的一种新型鲁棒H∞控制方法，设计出一个自身稳定的输出反馈控制器，能够使系统达到绝对稳定并且具有指定的扰动抑制能力。该实例给出了从建立数学模型到设计输出法反馈控制器的全部过程和结果，并与使用一般H∞控制方法所设计的控制器进行比较。通过控制器传递函数和灵敏度等特性曲线的对比和分析，体现出了本课题鲁棒H∞控制方法的优越性。

【参考文献】

［１］杨盐生.不确定系统的鲁棒控制及其应用[J].北京：科学出版社，2004：3-7．

［２］G. Zames, B. A. Francis. Feedback Minimax Sensitivity and Optimal Robustnes

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［３］M. Zeren and H. Ozbay, “On strong stabilization and stable H∞-controller desig

n problems for MIMO systems,” Automatica, vol. 36, no.11, pp. 16751684, 2000.

［４］贾英民.鲁棒H∞控制[M].北京:科学出版社，2007：122-124．