解三角形常见易错点

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解三角形是在学习了三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，得到正余弦定理，并用它们解决一些与几何计算和测量有关的实际问题.这类问题在近几年高考题中都有涉及.同学们在求解三角形中的几何计算问题时往往造成错解，以下就解三角形问题中常见易错点整理如下，以期对错解者起到警示.

易错点1 利用正弦定理求三角形的内角和时丢解

易错点警示：在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在[0，π]内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应借助已知条件加以验证，务必做到不漏解、不多解.

例1 在ABC中，B=30°，AB=23，AC=2，求ABC的面积.

错解：由正弦定理，得sinC=ABsinBAC=32，C=60°，A=90°，

SABC=12AB·AC·sinA=12×23×2×1=23.

分析：本题错误的原因是利用正弦定理求C时丢了一解.事实上，由sinC=32 可得C=60°或C=120°，这两个结果都符合题意.

正解：由正弦定理，得sinC=ABsinBAC=32，又AB>AC，C=60°或C=120°，

当C=60°时A=90°，SABC=12AB·AC·sinA=23；

当C=120°时，A=30°，SABC=12AB·AC·sinA=3

ABC的面积为23或3.

【技巧领悟】 本题实质是三角形中已知两边及其中一边的对角（如已知a，b和A）解三角形中的相关问题，用正弦定理求解时，可能有两解、一解或无解.判断解的个数可由“三角形中大边对大角”（A为锐角）来判定：若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解；若a

易错点2 易忽略隐含条件，从而导致错误

易错点警示：在解三角形中，要注意挖掘题中的隐含条件，否则范围将扩大或缩小，导致错解.

例2 在ABC中，若C=3B，求cb的取值范围.

错解：cb=sinCsinB=sin3BsinB=3-4sin2B，0

分析：错解忽略了隐含条件中B的取值范围.

C=3BA=π-4B>0即0

正解：因为A+B+C=π，C=3BA=π-4B>0

【技巧领悟】 凡是求最值、值域或取值范围的问题，都应注意题中是否含有隐含条件，以便加强对自变量取值范围即定义域的限制.

易错点3 忽略三角形边的限制而导致出错

易错点警示：解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大.

例3 设2a+1，a，2a-1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围

错解：2a+1，a，2a-1是三角形的三边，

2a+1>0a>02a-1>0，解得a>12，

2a+1是三角形的最大值，设其所对角为θ

2a+1，a，2a-1是钝角三角形的三边，

cosθ

实数a的取值范围是12

分析：错解中求得的a>12不是2a+1，a，2a-1表示三角形的充要条件.如当a=1时a+（2a-1）

正解：2a+1，a，2a-1是三角形的三边，

2a+1>0a>02a-1>0，解得a>12，此时2a+1最大，要使2a+1，a，2a-1表示三角形的三边，还需a+（2a-1）>2a+1，解得a>2，设最长边所对的对角为θ，则cosθ=a2+（2a-1）2-（2a+1）22a（2a-1）=a（a-8）2a（2a-1）

【技巧领悟】 本题实质上是求能构成钝角三角形的三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足构成三角形的条件即两边之和大于第三边.

易错点4 性质应用错误

易错点警示：三角形中根据已知角的函数值求未知角的三角函数值时，常错判三角函数值的符号，产生错解.

例4 已知在ABC中，cosA=513，sinB=35.求cosC.

错解：由sinB=35， 0

cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665或5665.

分析：错解中忽视了在三角形中sinA>sinBA>B这一性质的应用，从而导致多解.

正解：0

又sinA>sinB，A>B，0

由sinB=35，可得cosB=45.

cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=1665

【技巧领悟】 在三角形中根据已知角的三角函数值，都可求得已知角的正弦值，再比较正弦值的大小，由性质sinA>sinBA>B可避免多解或错解.

以上是同学们在解三角形学习中存在的典型错解问题.对于错解问题只要认真分析错因，及时加以纠正，就可达到触类旁通的目的.在数学学习中经常积累自己解题中的错解问题，对培养我们养成严谨的科学态度，形成良好的学习数学的习惯有极其重要的作用.