影响数学归纳能力的要素分析

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数学归纳能力就是将众多数学知识进行归纳，探求反映数学本质特征、内部联系和发展规律的思维能力，它应包括数学归纳推理能力、归纳概括能力、归纳推理能力等。根据数学归纳能力的概念的界定，结合教学实践，笔者得出归纳推理论证能力的要素：提出归纳猜想的能力；具有必要的数学基础知识；较好的逻辑基础知识；数学语言表达能力；归纳推理过程中自我反思的能力。下面就详细的阐述以上这些要素。

一、提出归纳猜想的能力

猜想是对研究对象或问题进行观察，根据经验进行符合情理的推测性想象。因此必须提高学生提出猜想的能力，就是通过实验、分析、类比、归纳后，根据已有的知识做出一种猜想。

数学猜想是在证明之前构想数学命题的思维过程。正如美国数学家G波利亚所说：“在证明一个数学定理之前，你先得猜这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得猜想证明的思路，你得把观察到的结果加以综合，然后类比，你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的”。例如著名的哥德巴赫猜想就是通过观察偶数的分解：4=2+2，6=3+3，8=5+3，12=7+5，100=97+3，102=97+5，然后概括成数学命题：“任何不小于4的偶数均可表示为两个素数之和。”希尔伯特从23个问题中提出假设或猜想的例子都是数学猜想的例子。

二、具有必要的数学基础知识

数学知识是数学归纳能力的基石。知识是人类社会历史经验的总结，从心理学的观点来讲，它以思想内容的形式为人类所掌握。从广义上说，知识是主体通过与其环境相互作用而获得的信息及其组成，并认为它储存于个体内即为个体知识;储存与个体外，乃是人类知识。这里我们所关注的是个体的知识。

学生的数学归纳能力的形成与发展离不开数学知识，以掌握知识为必要条件。数学归纳能力的形成过程必然要运用到以往的旧知识，以原来的知识为能力发展的条件和因素。按奥苏贝尔的认知同化说，新知识的学习必须以已有的认知结构为基础。学习新知识的过程，就是学习者积极主动地从自己已有的认知结构中，提取与新知识最有联系的旧知识，并且加以“固定”或者“归属”的一种动态的过程。过程的结果导致原有的认知结构不断地分化和整合，从而使学习者能够获得新知识或者清晰稳定的意识经验，原有的知识也在这个同化过程中发生了意义性的变化，因此旧知识是学习新知识的基石。

三、必要的逻辑基础知识

数学的特点之一是体系的严谨性，即是逻辑的严密性和结论的确定性。一切推理论证都离不开逻辑几何学，就是从少数的几条公理通过逻辑推理，推出许多人们原来不知道的新定理，成为一门独立学科。逻辑知识是数学教学当中论证论点和表达论点的工具，有些学生逻辑知识掌握较少，几何概念含糊，常出现一些典型错误：推理无根据，循环论证，缺少条件，强加条件等。逻辑知识是揭示逻辑错误，批判诡辩的有力工具，有些学生还常犯一些错误：偷换概念;增加条件；以内涵较多的特殊图形代替一般图形进行推理论证；把猜想当事实等等。而教材中没有系统的讲述逻辑知识的内容，很多学生只是按照教师的证题格式模仿，“悟性”高的学生能模仿对，“悟性”低的学生常犯一些逻辑错误，所以为提高高中生数学归纳推理能力，教师应适当的介绍逻辑基础知识，要求学生去领会，理解并逐步掌握这些逻辑思维的基本形式和方法。

四、数学语言表达能力

数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，必须准确运用数学语言，理解数学术语、数学符号的含义。但是不少学生不善于对数学语言的多种形式的转化，尤其是对抽象的数学符号语言常常回避，造成死板、思维僵化的结果，因此数学语言形态间的互译，不仅有利于数学知识的理解和记忆，还可使学生熟悉数学语言本身，能够合理简洁、准确地用数学语言表达数学思维，理清归纳推理的过程。

例如：若方程■=x+m无解，求m的范围。

分析：令y■=■，y2=x+m，原方程无解的问题就表示成一个几何问题：椭圆■+x■=1的x轴上半部分与斜率为1的直线无交点。求出直线y2=x+m，在y轴上的截距的范围。如图，可以先确定直线y2=x+m的两个特殊位置：

■

（1）直线y2=x+m与椭圆■+x■=1相切并且切点在椭圆右侧（此时切点在x轴上方）时，直线y2=x+m与y轴的一个交点；

（2）直线y2=x+m过椭圆■+x■=1右顶点时，直线y2=x+m与y轴的一个交点。

通过这两个特殊点的确定，可以知道在这两个点确定的线段中的每一个点都符合题意，从而确定了m的范围。

五、归纳推理过程中自我反思的能力

反思是指学生自觉地对数学认知活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识、进行自我监控、自我调节的主要形式。荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维的核心和动力。”对于归纳推理后的反思能力，如：我这道题是怎样想的？又是怎样推理的？方法是什么？还有没有其他推理方式？如果推理错，错的原因在哪？经过在归纳推理过程中的反思，能够达到对解题方法、特殊问题所包含的一般意义等的概括，能使知识系统化，结构化，尤其是为今后的归纳推理能力的提高起到帮助作用。

（作者单位 江苏省徐州市第三十六中学）