“存在性”试题析解

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2009年各地市中考“存在性”探索题作为中考压轴题频频出现，部分同学望题生畏，不知如何分析，把握不住题目的特点. 借此，本文给出这类问题的思路：假设结论存在，再由假设出发，结合题目条件，进行推理，若得出合理结果，就做出“存在”判断；若得出矛盾就做出否定判断.

1 直接据题意找出条件进行判断图1图2

例1 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）.

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后反比例函数的图像交于点B（6，m）,求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图像与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足S1=23S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由. （2009年南充中考）

分析 本题最后一问为存在性探索题，假设在 S1=23S的条件下，求出满足条件点的坐标，从而进行判断. （1）―（3）详解略，只给出答案.

解 （1）正比例函数解析式为y=x,反比例函数的解析式为y=9x.

（2）一次函数的解析式为y=x-92.

（3）二次函数的解析式为y=-12x2+4x-92.

(4)y=x-92交x轴于点C,所以点C的坐标是 (92,0)，如图2所示，S=S长方形HGFD-SRtBFD-SRtAGB-SRtAHO=152×6-12×6×6-12×32×3-12×3×3

=45-18-94-92=814,

假设存在点E(x0,y0)，使S1=23S=814×23=272. 四边形CDOE的顶点E只能在x轴的上方，所以y0>0,

所以S1=SOCD+SOCE

=12×92×92+12×92y0=818+94y0,

所以818+94y0=272，所以y0=32,

E(x0,y0)在二次函数的图象上,

所以-12x20+4x0-92=32,

解得x0=2或x0=6. 当x0=6时，点E（6，32）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0=6舍去，所以点E的坐标为（2，32）.

2 分类讨论进行判断

例2 已知抛物线y=x2-2x+a(a

（1） 填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（，），N（，）；

（2） 如图3，将NAC沿y轴翻折，若点N的对点应N′恰好落在抛物线上，AN′与χ轴交于点D，连结CD，求a值和四边形ADCN的面积；

（3） 在抛物线y=x2-2x+a(a

分析 若为平形四边形，则据平形四边形的性质，找等量关系，求坐标，从而判断.

解 （1）M（1，a-1），N(a，-a).

（2）a=-94,S四边形ADCN=18916.

(3)当点P在y 轴的左侧时，若ACPN是平形四边形，则PN平形且等于AC，

所以把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为(43a，-73a) ， 代入抛物线的解析式，

得：-73a=169a2-83a+a，所以a1=0（不合题义，舍去），a =-38，所以P=（-12，78）.

当点P在y轴的右侧时，若APCN是平形四边形，则AC与PN互相平分，

所以OA=OC，OP=ON. 所以P与N关于原点对称，所以P（ -43a，13a）,

将P点坐标代入抛物线解析式得：

13a=169a2+83a+a，

所以a1=0（不合题义，舍去）， a=-158，所以P（52，-58）,所以存在这样的点P1（-12，78）或P2（52，-58），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平形四边形.

例3 如图5，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以点E为坐标原点建立平面直角坐标系，若将梯形ABCD沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上点D位置，过点C，D两点的直线与y轴交于点F.

（1） 试判断四边形的ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；

（2） 如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y轴上是否存在一点P，使以P，D，F为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的P点坐标，若不存在，请说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若将EDF沿x轴正方向以1cm/s的速度平移到点E与点A重合时为止，设EDF在平移过程中与三角形ECA重合部分的面积为S，平移的时间为t秒，试求出S与t之间的函数关系式及自变量范围，并求出何时S有最大值，最大值是多少？（2009年江苏会考）图5图6

分析 若PDF等腰三角形DF可能为腰，分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断.

解 （1）四边形ABCD为菱形.

理由如下：因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD,BC=DC. 由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形.

（2）因为四边形ABCD为菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以CDE为等边三角形，所以DE=CD=AB=2cm在RtDEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm .

①以DF为腰，P点坐标为 （0，2+3）、（0，-3）、（0，3-2），

②以DF为底P点坐标为（0，233）,

综上所述，P点坐标为（0，2+3）、（0，-3）、（0，3-2）、（0，233）.图7

（3）解略.

3 利用反证法进行判断

例4 如图7，已知ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E，连结CD，设SABC=S，SDEC=S1.

（1） 当D为AB中点时，求S1∶S的值；

（2） 若AD=x，S1S=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3） 是否存在点D，使得S1>14S成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由. （2002福州中考题）

分析 对于不好直接判断的关系可利用反证法说明其存在与否.

解 （1）S1S=14.

（2）y=-x216+14x(0

（3）不存在点D，使得S1>14S成立.

理由：假设存在点D，使得S1>14S成立，那么S1S>14，即y>14. 所以-x216+14x>14，(x-2)2

因为(x-2)2≥0,所以x不存在，即不存在点D，使得S1>14S成立.

4 双重判断

例5 已知：如图8，在RtACB中∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q 由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连结PQ，若设运动的时间为t(s)（0

（1）为t为何值时，PQ∥BC？

（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图9，连结PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （2008年青岛中考题）

分析 （3）先假设PQ把RtACB周长平分，再代入验证面积是否平分. 图8图9

解 （1）t=107时,PQ∥BC.

（2）y=-35t2+3t.

（3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ.

所以（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得：t=1，若PQ把ABC面积平分，

则SAPQ=12SABC，即-35t2+3t=3,

因为t=1代入上面方程不成立.

所以不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分. 图10

（4）如图10，过点P作PMAC于M，PNBC于N.

若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC.

因为PMAC于M，所以QM=CM. 因为PNBC于N，易知PBN∽ABC，

因为PNAC=BPAB，PN4=55，

所以PN=4t5,所以QM=CM=4t5,

所以45t+45t+2t=4，

解得：t=109.

所以当t=109时，四边形PQP′C是菱形，此时PM=3-35t=73，CM=45t=89，

在RtPMC中，PC=PM2+CM2=499+6481=5059，菱形PQP′C边长为5059 .

初等数学千变万化，精妙其中，以几例不可能穷尽所有存在性问题的解法，但同一类题目的解法却不尽相同，只有理解了题目的通式通法，才能举一反三，解题能力才能得到提高.