争辩后的发现

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问题与争辩今天的数学课堂格外热闹，因为我们在争辩一个话题：是有理数吗？

大多数同学都认为是无理数. 一位同学说：“小学里常把 i 看作，既然 i 是无理数，那么也应为无理数. “不一会儿，又有同学发言：“我用22除以7，计算到它小数部分的较多位，都没有发现循环节，而‘无限不循环小数’就是无理数，所以为无理数.”有的同学对他的发言表示赞同.随即有同学反驳道：“如果一个数是无理数，那么它就一定不能写成分数形式，而就是一个分数，所以它一定是有理数.”教室里顿时安静下来，大家都觉得几位同学都说得挺有道理的.可是它究竟是有理数还是无理数呢？于是，大家都用期待的目光看着老师，老师笑而不语，在黑板上和大家一起演算起来. 看着黑板上一串串密密麻麻的数字，大家似乎发现了： = 3.142857. 哇！这么长的循环节！难怪多数同学把错看为无理数！

思考与实验我看着黑板上的这个循环小数，心想：142857，好熟悉的数字！好像挺面熟的.我记得 = 0.142857.难道这个长长的循环节跟分母“7”有关？我带着好奇回到家，并开始做实验：

= 0.142857， = 0.285714， = 0.428571，……；

= 1.142857， = 1.285714， = 1.428571，……；

= 2.142857， = 2.285714， = 2.428571，……

发现与反思从上述式子可看出，它们的循环节始终有“1、4、2、8、5、7”这几个数字，且排列的顺序也有规律.我想“7”一定是一个有趣的数字！我继续研究下去，希望能找到其中的“宝藏”. 于是我发现：

1×7 = 7，的循环节的最后一位数字就是7与整数部分的0之和7；

2×7 = 14，的循环节的最后一位数字就是4与整数部分的0之和4；

3×7 = 21，的循环节的最后一位数字就是1与整数部分的0之和1；

……

8×7 = 56，的循环节的最后一位数字就是6与整数部分的1之和7；

9×7 = 63，的循环节的最后一位数字就是3与整数部分的1之和4；

10×7 = 70，的循环节的最后一位数字就是0与整数部分的1之和1；

……

15×7 = 105，的循环节的最后一位数字就是5与整数部分的2之和7；

16×7 = 112，的循环节的最后一位数字就是2与整数部分的2之和4；

17×7 = 119，的循环节的最后一位数字就是9与整数部分的2之和的个位数1；

……

其实，由于 = 1 + ， = 2 + ，……，因此，，……的循环节与的循环节是一样的，即 = （其中为自然数）的循环节与的循环节相同；同理， = 的循环节与的循环节相同，……， = 的循环节的循环节相同.

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