重温数学发展文化,创新有理数概念教学

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在有理数的教学中，许多数学老师比较重视有理数的运算教学，对于运算中的法则和符号能够反复强调，这也的确是这一章的教学重点。但是，有理数概念教学也不容忽视，特别是有理数概念教学中蕴含丰富的数学发展文化，对于培养学生的学习兴趣，养成热爱数学的情感体验有着运算教学不可替代的重要意义。有理数概念教学的问题在哪里？我们教学中该如何做好有理数概念的教学？又该如何重温数学发展文化呢？我们要通过怎样的故事来培养学生的学习情感？

一、有理数两种定义在教学中遭遇尴尬

在传统的数学版本中，有理数有两种定义。定义一：整数和分数的统称。定义二：有限小数和无限循环小数的统称。这两种定义是对同一名词作出的两种描述，那说明它们是可以划上等号的。但在实际理解时，却很难将它们统一。其中，将整数当成有限小数或无限循环小数是最易理解的，将有限小数化为整数或分数也应不难理解。但是，所有分数都一定能化为有限小数或无限循环小数，所有无限循环小数都能化为整数或分数，这种分数与小数的互化，对于初中阶段学生是很难理解的，因为在实际操作中有的分数很容易让人误以为会化为无限不循环小数（有的分数化小数，可能是小数点后很多位才结束或很多位才出现循环节），这样容易让学生对知识产生迷惑、怀疑和不信任。

例如，1992=19801=0.000102030405060708091011121314…。

小数点第三位开始出现的竟然是有序的正整数系列，到底是不是循环，学生难以判断。这个循环节有200位。这样，在实践中无法解决的问题，只能理论上加以证明。可是，有理数可以化成有限小数或无限循环小数的相关证明要到大学才学，初中生显然是不能理解的。那要怎样让学生对这个知识点不产生迷惑、怀疑和不信任呢？

二、丰富的数学发展文化为活跃课堂、培养兴趣提供了契机

有理数概念的发展中存在着丰富的文化内容，生动有趣的历史，为初中数学教学提供极好的课程资源。在有理数教学过程中若适当引入其历史文化内容，能够帮助学生正确地形成有理数概念，理解有理数意义，掌握有理数概念产生的来龙去脉，领悟有理数产生的思想、方法，激发学生数学学习兴趣。通过学习数学发展文化，既能体验数学家的奇思妙想和体现他们追求完美的数学精神，又能让我们欣赏他们创造的成果和经历数学创新的过程。从而实现新课标提出的“让学生去体验新知识的发生过程”，以及“体现数学的文化价值”教学理念，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。有理数的概念结合数学的发展文化进行教学，可以与学生一起经历有理数概念产生的萌芽，明白有理数概念产生经历过的是非，以及概念的创立、发展过程。同时，让学生从有理数概念的创立和意义的诠释中感受数学的发展文化，感受数系扩充的思想，感叹人类思维的力量，形成创新的意识，掌握创新的方法。这些，对开拓学生的视野，培养发散思维的习惯，培养热爱数学的情感都提供了一个很好的契机。

三、让学生阅读有理数简史，理解有理数概念的来源

教师用多媒体展示有理数简史：“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。后来，日本人翻译中出现差错，翻译成为“有理数”，而不是其本来的“可比数”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理的数。

还原数学的辉煌历史，见证一段真实的悲惨故事 古代希腊文明是西方文明的源头。在古希腊出现了很多伟大的人物，其中数学家毕达哥拉斯就是其中影响最大的一位。他和他的门徒建立起一个庞大的具有深远历史影响的组织——毕达哥拉斯学派。这个学派有很多奇闻轶事，他们发现了音乐与数学的关系，门徒内部以手掌中的“五角星”联络等等。但这里主要是介绍一位伟大的数学先行者——西帕索斯。

毕达哥拉斯认为，整数是上帝创立的，人则利用整数进行运算，在运算过程中产生了分数。实际上，数的概念最初不论在哪个地区都从自然数开始的，只是记数的符号却不尽相同。随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人该得多少呢？这样分数就产生了。

毕达哥拉斯有一句名言：“万物皆数”。当然，他所说的“数”，就是可以写成两个互质正整数的比的“有理数”。 毕达哥拉斯认为：他心中的“数”（有理数）都可以用数轴上的点表示出来；反过来，数轴上每个点都表示一个“数”（有理数）。以今天的观点看，前半句是对的，后半句却未必。但毕达哥拉斯心里坚信：有理数布满了整个数轴，而且数轴上只有有理数。原因是他发现有理数有两个特点：稠密性——任何两个无论多么接近的有理数之间都有无数个有理数；和谐性——你无法找出任何一个有理数的左邻右舍。

毕达哥拉斯的另一个数学上的伟大发现就是得到了直角三角形三边之间的关系：两个直角边的平方和等于斜边的平方。当时，他欣喜若狂，认为是神灵对他的启示，他才能有这样伟大的发现。为此，他特地杀了一百头牛祭示神灵。因此，这个发现又被称作“百牛定理”。当然，在中国，这个定理叫“勾股定理”。 有一天，毕达哥拉斯的学生西帕索斯发现，毕达哥拉斯的这两大发现竟然会打架。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理，这个数肯定是存在的，并且x2=12+12=2。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解。他通过证明最后认定这是一个从未见过的新数。他是这样论证的：

如果x是可以写成两个正整数的比的“有理数”，那么可以设x=mn，这里的m，n是互质的正整数。由x2=2得到m2n2=2，这样就有m2=2n2，等号右边是偶数，因为只有偶数平方才是偶数，所以m应该为偶数。设m=2k，代入等式有4k2=2n，即2k2=n，这样等号左边是偶数，所以有n为偶数。可是，这就与m，n为互质的正整数矛盾了。

毕达哥拉斯认真看了这个推论过程，感到的确很严密，无懈可击。到底是“万物皆数”错了，还是“百牛定理”错了呢？如果都是对的，那为什么又出现这样不可思议的矛盾？

数学的天空一时乌云密布，第一次数学危机就这样来临了。

它的来临意味着并非所有的数都可以写成两个整数“可比”的“有理数”形式。而这又恰恰是毕达哥拉斯无法接受的。

这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想“万物皆数”的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们决定对新数的发现要严守秘密。

后来，希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。

据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。他用自己的生命捍卫了这个不可思议的新数。

然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是其中最重要的一个。人们把它们写成2、π等形式，并称它们为“不可比”的数，同样，由于翻译的原因，变成今天的“无理数”。 有理数和无理数一起统称为实数。在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。

然而，人类从来没有停止探索与发现的脚步。后来，数学家又定义了虚数概念，以i=-1作为虚数单位，把数系扩大到复数范围。今天，数系的范围还在扩大。

四、给学生以惊喜，“九九归一”的演练

我们可以教会学生通过错位相消法，具体把一个无限循环的小数化成两个正整数之比的分数形式。

为了激活课堂，我们可以先给学生一个惊喜或者震撼。

当我告诉学生，我可以证明0.9·=1。学生纷纷表示不相信，在他们印象中，0.9·与1总会相差一点点。

我首先用竖式除法给出证明，这时有两种情况：一是直接上商为1，在一步内结束除法运算；二是上商为0，然后无限循环上商9。这时，学生会很不服气，提出抗议，说，“老师，明明上1可以结束运算，你怎么可以偏偏上0忽悠我们。”

在这样欢快的气氛中，我教他们用错位相消法把循环小数化成分数，他们很快就学会了。

综上，有理数概念教学中可以引入数学发展的文化因素，可以讲故事，可以设置悬念，可以渗入情感体验。通过这样形式多样的方式把学生的积极性调动起来，为今后的数学学习打下基础，使他们对数学课堂始终充满期待！教学其实是需要创新的，创新又是需要激情的，让我们年轻的生命融入到教育教学无限的创新中去，打造我们充满生命活力的数学课堂！