“数学广角”的教学思考与实践

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“数学广角”是人教版教材伴随着课程改革而新增设的一个内容模块，是传统数学教学少有涉猎的领域。对于如何把握“数学广角”的教学本质、如何有效实践“数学广角”的教学，不少教师对此进行了有益探索。本期特刊登了相关文章，供大家学习讨论。

“数学广角”是人教版课标教材伴随着课程改革而新增设的一个内容模块，是传统数学教学少有涉猎的领域。教材以学生熟悉而又感兴趣的生活情境为依托，通过典型的数学问题向学生渗透数学的思想与方法，将学习置于活动的情境中，给学生提供操作和探究的机会，培养学生有序地、全面地思考问题的意识，发展学生的抽象概括和推理能力，为学生的进一步学习奠定基础。

把握“数学广角”教学本质需要关注两个关键词：一是“数学”，二是“广角”。从数学角度来讲，数学广角呈现的是数学四个领域之外的问题。比如排列和组合问题、植树问题等，也就是生活中怎么用数学思想方法来解决问题，它是教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。另外，“广角”表示为视角大、视野宽阔，从某一视点观察到的景物范围要比人眼在同一视点所看到的大得多。它用日常生活中最简单的事例呈现了数学应用的广泛性和多样性，让学生感悟数学的博大和价值。可见，数学广角主要在于拓展数学视野，提高学生的数学学习兴趣，积累数学活动经验，促进学生学习能力的发展。

由于“数学广角”的一些内容与“奥数”的内容颇为相同，于是许多教师在未吃透教材编写意图背景下将“数学广角”等同于“奥数”兴趣小组教学的要求与方式。这样既不能体现数学广角的教学价值，又加重了学生的学习负担。那么如何有效实践“数学广角”的教学呢？我们从数学广角的价值把握、数学广角的目标定位、数学广角的实践探索等方面加以思考。

一、数学广角的价值把握

人教版教材希望通过“数学广角”的教学，使学生接触到最为基本的数学思想和方法，获得探索数学知识、解决问题的基本方法，提升学生的数学能力。其教学价值主要表现为以下几方面。

（一）有机渗透数学思想与方法

数学思想方法的渗透是《数学课程标准（2011年版）》提出的新要求，从“双基”到“四基” ，突显了数学教育的核心价值，其中“数学的基本思想”和“基本活动经验”可以说是数学教学的灵魂。教材选取了“找规律、排列组合、鸡兔同笼”等数学问题，能使学生很好地体会到观察、枚举等归纳推理的方法；选择“逻辑推理、抽屉原理”等内容主要是让学生学习简单的演绎推理的方法，培养学生的演绎推理能力；植树问题既体现了“特殊―一般”的归纳推理思想，又体现了“一般―特殊”的演绎推理思想，同时还渗透了数学建模的思想。这些作为“数学广角”的内容载体，很好地渗透了数学思想与方法，培养了学生的数学思维能力，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识和能力。

（二）突显过程与方法的教学价值

《课程标准（2011年版）》指出：课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系。对于数学广角内容的教学，更应体现过程与方法的教学价值；需要为学生设计一些生动、有趣的数学活动，在活动中展开观察、操作、实验、猜测、推理与验证，充分感受数学思想方法的奇妙与作用。例如，在植树问题的教学中，为了让学生经历发现规律、建立模型的过程，教学中要突出呈现学生怎样在实际操作的基础上抽象出线段图，借助实际操作的经验和线段图的直观支撑，帮助学生更好地探索和发现植树问题中蕴含的规律。因此，走出三种情形下的植树问题的公式教学，用最直观的图示方法解决类似的问题。学生在今后遇到新的问题时，也会主动尝试运用这种方法去解决，突显了过程与方法的学习价值。

二、数学广角的目标定位

“数学广角”试图把重要的数学思想和方法通过日常生活中简单的问题情境呈现出来，并在数学活动中激发学生探索问题的兴趣和解决问题的意识，发展数学思维能力，感悟数学思想方法，获得活动经验。

（一）注重数学思考，落实课程目标

与其他的数学教学内容一样，通过“数学广角”教学要实现知识技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个目标。当然，这四个目标应该是同时兼顾的。显然，数学广角教学的关键是学会数学地思考，这是数学教学的重要目标。让学生在参与观察、实验、猜想、证明、运用等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。在学会独立思考过程中，体会数学的基本思想和思维方式。

数学思考就是在面临各种问题情境中，能够从数学的角度去发现问题、提出问题、分析问题，发现其中存在的数学元素，并运用数学的知识与方法去解决问题。其核心是：敢于想问题，用数学的思想方法想问题。应当说数学思考主要的就是数学思维活动，这里，让学生学会有条理的表达非常重要；当然不仅是思维训练，还有发现数学、应用数学的意识和能力。例如，在鸡兔同笼问题的教学中，教材重点突出尝试的策略，同时呈现出学生在尝试过程中不断调整思路、逐步发现一般规律的思考活动。

（二）立足数学思想，合理定位目标

从教学目标的把握来看，数学广角的教学首先应定位于通过数学活动让学生感受数学的思想方法。立足于思想方法的目标定位，必然要求教师要充分地挖掘和理解教材中所体现的数学思想方法，在教学时注重让学生通过观察、比较、分析，感悟数学思想方法的魅力，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。例如，有位教师上“找次品”时，就先直接告诉学生“先将要找的产品分成3堆，而且要尽可能地平均分。3个称一次，9个称2次，27个称3次……”这种避开活动过程去繁就简的做法，如同蜻蜓点水般浅尝辄止。学生不清楚为什么要这样分，既没有经历过程，也没有活动体验，更无法让学生感悟数学的思想方法。这种舍本逐末的做法显然不可取。教学一定要让学生来想、来感悟，让他们学会如何从头想问题，如何逻辑地想问题。

“数学广角”很多内容属于新增范围，知识背景比较丰富。教师对这些内容的教学容易走极端，或者拓展得太深，学生接受不了，或者讲述不到位没能达到渗透数学思想方法的目标。这里就要涉及对教学内容的处理问题：到底是“窄而深”还是“广而浅”？其核心是什么？因此，在“数学广角”教学中，应该更多地思考基于思想方法的教学目标是否实现、应该如何实现，这就需要有效开展数学广角内容的教学探索。

三、数学广角的实践探索

“数学广角”教学面向的是全体学生，注重的是数学思想方法的渗透，通过有效的活动情境，引导学生主动学习、探索、思考、发现，积累活动经验，提高数学素养。这是教师在实践中要把握的一个教学基本点。同时，“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”（张奠宙）为此，教师在数学广角的教学中要处理好过程与结果、直观与抽象、面向全体与关注差异的关系，让数学教学更为有效，让数学广角突显它应有的价值。

（一）整体梳理，有效研读教材

数学广角虽然在每一册教材中都独立存在（如表1），但是仔细分析还是存在着必然的联系。如二上和三上的“排列组合”问题，教学中要仔细分析知识点所蕴含的要求，教学中不能越位也不囿于表层；同时要关注它们之间的联系和区别，教学中要善于抓住它们的区别处，把握目标定位和要求，抓住这些联系点展开有效教学。

表1

一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级

上册 分类 简单排列组合

逻辑推理 排列组合 烙饼问题

排队论

田忌赛马 数字编码 鸡兔同笼

问题

下册 找规律 找规律 重叠问题

等量代换 植树问题 找次品 抽屉原理

自《数学课程标准（2011年版）》颁布后，人教版教材进行了一系列的调整。其中，对数学广角的内容也进行了修订（见表2）。

表2

一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级

上册 找规律渗透 排列组合1 集合 优化问题 植树问题 数形结合

下册 找规律 逻辑推理 排列组合2 鸡兔同笼 找次品 抽屉原理

这样的调整，一方面是基于十余年课程改革实践的经验，另一方面充分考虑了小学生思维发展的规律和学生的实际水平，教材对数学广角的教学内容和顺序进行了必要的调整，例如：鸡兔同笼问题教学的主要目的是让学生经历尝试探究的过程与方法，渗透归纳推理思想，而这些对于六年级学生来说，挑战性不足，因而由六年级前移到四年级；植树问题对于四年级学生的抽象思维能力要求较高，对模型的建构五年级学生更胜一筹；而数字编码数学思想不是很明显，倒是研究性活动开展优势明显，于是调整为综合与实践领域内容等。这样的调整更为科学，也符合学生的认知规律，更能体现数学广角的学习价值。

对比实验版课标教材与2011年版课标教材的内容编排，有两点值得反思：

一是对找规律内容的编排序列有所减弱，删除了二年级循环规律的教学安排。笔者认为，应加强找规律内容的教学编排。一方面课标特别强调数学规律的探索，在数与代数领域的课程内容中专门有探索规律的要求，通过数学广角加强对规律研究的数学化思考，拓展规律探究活动的延续性和发展性。如二年级下册探索循环规律过程中，进一步让学生思考：如果继续排下去，接下去的图案会是怎样的排列？与上面的哪一组相同？再排一组又与第几组的图案相同？如果我们把这四组图案称为“一大块”，那么第2大块的第3组的图案是怎样排列的？第5大块的第2组又是怎样的？第50大块的第3组的图案是怎样排列的？这一过程的设计，在平常教学活动中是教师所欠缺的。他们往往只是表面（四组）规律的发现，好似美术或手工劳动课中的图形的排列规律，缺少数学味。现在的设计突出体现了数学学科特点，呈现了数学思考规律的探索运用过程。

二是对植树问题后续的点阵问题的处理不够慎重，新的修改意见是拓展了植树问题的三种模型，删除了点阵问题的内容，只安排在练习中呈现。其实，深入分析可以发现，两个内容之间都有数形结合解决问题的思想方法（详见课例：借助几何直观 凸显意义建构――“点阵问题”教学实践与设计意图），2011年版课标教材以练习的形式呈现，不利于教师的教学把握，也不能很好地体现几何直观的思想。特级教师汪培新认为这种“图形建模”的方式对学生的进一步学习发挥着积极的作用。笔者认为，这一内容还是能很好地呈现一定的数学思想方法，应予以保留和发展。

（二）把握核心，有效设计活动

数学广角的核心表现为两方面，一是“数学”的核心，渗透数学思想方法，突显数学味；二是“广角”的核心，拓展数学的价值，关注全体学生的学习感悟。

数学广角从数学角度讲，它所蕴含的教学核心是渗透数学思想和方法，同时体现数学的本质和味道。如有教师在教学一年级下册“找规律”一课时，出示情境图让学生找规律，然后通过涂一涂、画一画、贴一贴来感知创造的规律。接下来，采用仿照音乐打节奏的方式体验规律，课堂很热闹，变成了节奏的海洋。看起来，前半节课像“美术课”或者“手工劳动课”，后半节课就成了“音乐课”，整堂课缺少数学味！面对“找规律”这样的教学内容，教师该如何体现数学味呢？关键是让学生实践数学化思考。这就需要教师在设计活动时考虑让学生经历数学化的过程，如学生在观察会场布置时一些物体的排列特点：

师：气球有规律你是怎样看出来的？

生：它总是2个蓝、1个黄重复出现，所以我觉得它是有规律的。

师：重复两个字用得很好。谁还愿意说？

生：气球是2个蓝色、1个黄色重复出现的。

师：接下去应该怎样挂？

师：说一说，它是以几个为一组，怎样的颜色重复出现？

师：噢！原来它是以2个蓝、1个黄为一组出现的，每一组的第一个、第二个、第三个分别是什么颜色呢？

师：现在老师要挂第五组气球，你知道第五组的第一个气球是什么颜色？第十组的第二个气球是什么颜色？

师：你是怎么知道的？（每组都相同，就看第一组）

师：这个会场很大，假如老师挂了100组这样的气球，再猜一猜，第40组的第二个是什么颜色的？第100组的第三个是什么颜色的？

数学课区别于其他学科的显著特征之一便是严谨的逻辑思维，包括观察、分类、抽象、概括等思维环节，以及在各环节中由类比、迁移等思维品质带来的直觉思维。这一环节，在结构中体现了这些思维特征。教师通过让学生观察发现规律，通过交流表达提炼（叙述）规律，通过推理想象运用规律，也使得该堂课有了浓浓的数学味。

作为数学广角的“广角”，它所具有的含义是拓展数学价值，使这一内容的教学更有普适性，并关注全体学生的学习感悟；让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理等活动，初步感受数学的思想方法，逐步形成有序思考问题的意识和方法。如植树问题教学中，通过数形结合的思想方法，让学生适时提炼解决问题的策略，然后将这一思想和方法（策略）应用到安装路灯、上下楼梯、挂灯笼、排队、锯木头、敲钟等问题中，做到触类旁通、举一反三。让学生进一步感悟学习的价值和方法的优越性，提高对数学学习的兴趣。

在设计活动时教师要思考问题的设计是否有利于活动的展开，是否有利于学生的数学思考，是否促进了学生的思维发展。如果你能关注这些问题的实践探索，你也就认清了数学广角的教学本质。

“数学广角”内容的教学实践，给传统数学提供了更为丰富的教学思考。它注重问题情境的创设，为学生提供积极思考、充分参与数学活动的时间和空间，使学生有更多的机会去亲历探索、操作发现、交流和分享，从中获得数学思想方法的感悟，让学生的数学能力得到发展，进而促进学生数学素养的提升。

（浙江省宁波市海曙区教育局教研室 315010）