数学错解中的定“性”分析

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哲学家波普尔说过：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试误法.”说得更好：“错误和挫折教训了我们，使我们变得聪明起来了.”那么，如何开展“数学错解分析”活动，让学生在自己常犯的错误和挫折的教训中变得“聪明起来”呢？这无疑是值得思考和探索的课题.本文试图通过解题活动中所必须遵循的统一性、特殊性、确定性、抽象性、等价性和直观性等问题的分析与探讨，力求为改变教学方法、提高教学效率、启迪优化学生的思维与思维的品质提供借鉴.

1 忽视“统一性”而导致的错误

在解题过程中，要随时注意整体与局部的关系，使整体与局部能够有机地统一起来，避免因忽视统一性而导致的错误发生.

例1 已知x >0，y >0，且x+y=1，求2x+1y的

最小值.

错解 由x >0，y >0，知2x+1y≥2

x2y=2

x

2y，

而xy≤x+2y，则2x+1y≥x4+ 2y=4 2，故2x+1y的最小值为4 2.

分析 上述过程出现错误的原因在于忽视了不等式变换过程中等号成立的统一性，对于不等式2x+1y≥2

x2y而言，是当且仅当2x=1y，即x=2y时取等号，而对于不等式xy≤x+2y来说，是当且仅

当x=y时取等号.二者取值不统一，故2x+1y的最小值并不是4 2.

为了避免此类错误的发生，应该帮助学生树立整体的思想，即在一个不等式的整个变换过程中，等号成立的条件应该是统一的.要养成检查等号成立条件的习惯，若不能同时成立，则不能直接运用基本不等式，需另辟蹊径，通过灵活地变换转化为总能保持等号成立条件的统一性的方法去解决.

2 忽视“特殊性”而导致的错误

任何事物都具有普遍性与特殊性，如果我们只注意到事物的普遍性而忽视了事物的特殊性，便会得出片面性的结论，解决数学问题也是如此.

例2 已知集合P={x | x2+x?6=0}，Q={x | mx?1=0}，若P∩Q=Q，求满足条件的实数m所组成的集合.

错解 x2+x?6=0的两根为?3和2，mx?1=0的根为

m1.

又P∩Q=Q，P?Q，则m1=?3或

m1=2，

即m =?13或12，则实数m所组成的集合?

???13，

2

1???.

分析 本题容易出错的原因在于忽视了事物的特殊性.事实上，当集合Q为空集时也满足P∩Q=Q这一条件.因此，本题的求解应分Q为空集和Q不为空集的两种情形加以讨论.此类问题是“已知两个集合，判断其包含关系”的逆问题，即“已知含有参数的集合具有包含关系，确定集合中所含参数的取值范围”.求解时，要依据集合间包含关系的意义，寻找参数需要满足的不等式.

为了避免此类错误的发生，应当努力培养学生思维的严谨性，学会全面地思考问题与讨论问题，解题之后要进行认真的检验，防止漏解或增解.

3 忽视“确定性”而导致的错误

错解在很大程度上是由于对某些数学概念模糊不清所致.因此，强化对数学概念的理解与掌握，是避免产生错解的重要一环，应常抓不懈.

例3 函数

分析 本题错解的原因是对三角函数“依图识性”把握不够到位.究其原因，是由于从sinyx=与的图象的对称中心点的结论产生了负迁移.故而产生了错解.

避免发生此类错误的策略是需强化对概念的理解，准确地把握概念的实质，考前要逐个检查概念，是否做到把握概念的实质，真正地理解和掌握.针对易错或易混淆的概念，建议编拟相应的基础题进行强化训练，多次反馈并及时评讲.

4 忽视“抽象性”而导致的错误

数学问题的表达中往往充满着许多数学符号，解决它需要学生具有较强的抽象思维能力.若对抽象的数学符号所表示的意义理解不够深刻，很容易导致错解的发生.

yf xf x=+23]，

13]，

为了避免此类错误的发生，教师应对学生加强抽象思维能力的训练，引导学生深刻理解字母所代表的含义，充分发挥符号的功能，学会对抽象的符号进行合理和有效地转化.

5 忽视“等价性”而导致的错误

数学问题的条件有些是显性的，有些是隐性的，每一道数学问题或多或少地隐含着一些条件，解题时要将其挖掘出来，应用于解题过程之中，才能确保解答的正确性.

例5 已知数列{ }

bn>?+=

3?.

为了避免此类错误的发生，解题时要认真审题，尽可能地把题设中的隐含条件挖掘出来，作为解题时的工具加以应用，只有这样才能避免错解的发生.

6 忽视“直观性”而导致的错误

数形结合思想包括“由形思数”和“由数思形”两个方面.华罗庚先生指出“数缺形时少直观，形少数时难入微”.科学合理地运用或类比运用数形结合思

想可以巧解许多题目，但若两者结合不到位，就会使解题陷入困境.

例6 求过点与双曲线只有一个公共点的直线方程.

，即

. 136100xy?+=

分析 上述解法的错误主要在于套用实系数一元二次方程根的判别式，忽视了与不存在的两种情况.产生这样错误的原因在于学生思维僵化，只会套用，不能灵活运用所学知识和方法.首先，过点与双曲线相切的直线应有两条，漏掉了斜率不存在的直线；其次，对③式使用判别式的前提是二次项系数，所以上述解法把已知条件直接转化为，是非等价转化.

为了避免此类错误的发生，建议在解题过程中，强调画出点、直线和曲线在坐标平面内的位置关系示意图，从而有效地避免漏解的情况.我们还可以进一步地引导学生可以归纳出：直线与双曲线只有一个公共点的几种情况.同时，展开类比，不难得出直线与抛物线只有一个公共点的几种情况.

辨析问题错解的原因，是想从根本上寻找错解的原因，认清什么是错误的，错在何处，为何产生这种错误，从而探索避免错误发生的对策以及解决问题的正确思路，提高解答数学问题的准确性；通过辨析，训练学生数学思维的严谨性、深刻性、灵活性、批判性与独创性，使学生的数学素养得到有效地提升.